중학교 학생들의 수학문제 해결과정에서 직관적 사고에 대한 오류 분석 = An analysis on errors due to the intuitive thoughts utilized in the mathematics problem solving process of the middle school students
저자
발행사항
청원군: 한국교원대학교 교육대학원, 2009
학위논문사항
학위논문(석사)-- 한국교원대학교 교육대학원: 수학교육전공 2009. 2
발행연도
2009
작성언어
한국어
주제어
DDC
373.7
발행국(도시)
충청북도
형태사항
viii, 94p.: 삽도; 26cm
일반주기명
참고문헌 : p.80-83
소장기관
The purpose of the study is to analyze the errors of intuitive thought in the mathematics problem solving process of the middle school students and to compare the differences of its error types according to their grades.
For these purposes, this study established the following.
First, what are the errors of the intuitive thought of the middle school students?
Second, what is the difference among the errors of the intuitive thought in the mathematics problem solving process of the students according to their grades.
In order to investigate, a research survey via a written test was conducted. The written test was made up of questions which are already used in pre-research. These questions indicate the influence of intuitive thoughts, visualization, teaching, and theory of knowledge obstacle. 192 middle school students in grades 7 to 9 from one school in Miryang were selected for this research.
The results of this study are following.
First, many students have hard time solving the geometric problem because of optical illusion when the questions are given in the form of pictures.
Second, we can find that the errors in the teaching-learning situations can cause obstacles in the following stages.
Third, the almost similar error types can occur regardless of their grades. This shows that the cause of errors of the intuitive thoughts can not be removed, though they have studied for a long time.
Finally forth, though we can guess that we reduce the errors of intuitive thoughts according to their grades, the cause of errors is different for their grades.
We can get the following result from this study.
First, many students tend to solve their problem sticking to one element rather than analyzing many elements in mathematic problem solving process. These errors of intuitive thoughts are based on the wholeness. In number 2, when they arranged their cards using optical model, 35.94% students put some numbers directly without generalizing combination of numbers. In number 3, 70.91% students made an error that the width of parallelogram is the same as that of a rectangle. It is because of the optical illusion that the height of square can be seen as the same at an angle.
In number 5, 42,13% students made an error that the round-shaped diagram is wider than the straight-lined one. This is because they may think the length of the round-shape is longer than the straight one. As you see, students tried to solve the problem by focusing on only the length and not on many other things in the problem solving process. A lot of information can be a cause of errors in problem solving process because of their optical illusions. To reduce these errors, we should develop the teaching method using many kinds of optical models and geometric programs such as GPS
Second, the students' already acquired mathematical knowledge may cause the obstacles in the following learning stages. These errors are related to the obstinacy.
In number 1, 59.06% students made errors. In detail, the percentage of correct answers of 1-(1) is 1st grade(81.81%), 2nd grade(85.71%), third grade(90,47%), but that of 1-(2) is 1st grade (36.36%), 2nd grade (44.44%), third grade(46.03%). It shows that students may have difficulty multiplying after adding the same numbers several times. Similarly, in Fischbein's study, researchers analyzed the percentage of correct answers of the number 1 by the Italian 5, 7, 9th grade students. The result is like this : for the 1-(1)-5th(79%), 7th(74%), 9th(76%). 1-(2)-5th(27%), 7th(18%), 9th(35%) So we can reduce the errors of intuitive thoughts doing the meta-cognitive activities as we teach mathematical ideas, principals and rules.
Third, the errors by middle school students are almost the same regardless of their grades. It indicates that the errors of intuitive thoughts tend to be tied up rather than disappear as their grades. The main reasons students may have chosen the incorrect answers could be due to: they get an even number when they put some numbers directly, they get the same width when they lay down the square because they have the same height. the width of the round-shaped diagram is different from the straight-lined one. To teach middle school students, we need to develop the teaching method using both intuitive and logical way equally. Teaching with the balanced way, we can reduce the errors of intuitive thoughts for students.
Finally, forth, we may think that the errors of intuitive thoughts can be reduced, but it's not true. The cause of errors is different from their grades. In number 4, we can find that 3rd grade students who completed their probability chapter made more errors than 2nd grade students. The reason is that the students tend to think possibility on the basis of their experienced intuitions. So we can infer that the cause of intuitive thoughts may not disappear with the learning period. We should develop many kinds of teaching methods to solve these problems.
본 연구는 중학교 학생들을 대상으로 수학문제 해결과정에서 직관적 사고의 오류 상태는 어떠한지 분석하고, 중학교 학생들의 학년에 따라 직관의 사고의 오류유형의 차이는 어떠한지 비교 분석하고자 한다. 이러한 연구목적을 달성하기 위해 설정한 연구 문제는 다음과 같다.
첫째. 수학문제 해결과정에서 중학교 학생들의 직관적 사고의 오류는 어떠한가?
둘째. 수학문제 해결과정에서 중학교 학생들의 학년에 따른 직관적 사고의 오류 의 차이는 어떠한가?
이와 같은 연구문제를 해결하기 위해 지필검사를 통한 조사연구 방법을 실시하였다. 지필검사는 수학문제 해결과정에서 나타나는 직관적 사고의 오류검사로 직관의 특징의 영향, 시각화의 영향, 교수학적인 영향, 인식론적 장애의 영향을 잘 나타내는 문항들로 선행연구에서 사용한 문제들로 구성하였다. 연구대상은 경남 밀양에 소재한 1개 중학교를 선정하였으며, 각 학년별 2개 학급씩 총 6개 학급으로 전체 192명의 학생들을 대상으로 하였다. 학생들의 학력수준과 가정의 사회, 문화적 수준은 중·하 정도에 속한다. 면담조사는 지필검사를 토대로 다양한 직관적 사고를 한 학생을 대상으로 지필검사 문항에 대한 답을 확인하고, 학생들이 그 답을 한 과정과 이유에 대해 묻고 답하는 과정으로 실시하였다.
본 연구로부터 얻은 결과는 다음과 같다.
첫째, 많은 학생들은 그림으로 제시된 기하문제 해결과정에서 시각적인 착시로 인하여 문제해결에 어려움을 겪고 있는 것으로 나타났다.
둘째, 교수학습 상황에서 발생한 오류가 다음 학습에서 장애의 원인으로 나타나고 있음을 알 수 있다.
셋째, 중학생들의 학년에 관계없이 문항별 오류의 유형이 비슷하게 나타났다. 이는 학습기간이 길어도 직관적 사고의 오류의 원인이 제거되지 않고 있음을 알 수 있다.
넷째, 일반적으로 학년이 올라감에 따라 직관적 사고의 오류가 줄어들 것이라 생각할 수 있지만 본 연구에서는 직관적 사고의 오류의 원인에 따라 학년별로 각각 다르게 나타났다.
본 연구 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻었다.
첫째, 많은 학생들이 수학 문제해결 과정에서 문제 상황을 여러 가지의 다양한 요소를 분석하기 보다는 한 가지 요소에 집착하여 문제를 해결하려는 경향을 보였다. 이 같은 직관적 사고의 오류는 직관의 특징 중 전체성에 기인한다고 볼 수 있다. 문항 2 에서는 35.94% 학생들이 시각적 모델을 사용하여 카드를 배열할 때, 여러 가지 수의 조합을 통해 일반화를 하지 못하고 문제에 제시된 방법으로 몇 개의 수를 직접 넣어서 계산을 하였다. 문항 3 에서는 70.91% 학생들이 시각적인 착시로 인하여 사각형을 비스듬히 눕혀도 높이가 변하지 않는다고 생각하고 평행사변의 넓이와 직사각형의 넓이가 같다는 오류를 범했다. 문항 5에서 도형의 넓이를 구할 때, 42.13% 학생들이 곡선의 길이를 펴면 직선의 길이보다 길기 때문에 곡선으로 둘러싸인 도형이 넓다는 오류를 범하고 있다. 이와 같이 여러 가지 요인에 의해 풀이하기 보다는 길이라는 한 가지 요소에만 초점을 두고 문제를 해결하려고 하였다. 많은 학생들이 주어진 조건이나 문제 상황에서의 정보들이 오히려 시각적인 착시를 일으키는 원인으로 나타나 오류를 범하는 것으로 나타났다. 이러한 오류를 줄이기 위해서는 다양한 시각적 모델을 활용하는 방안이나 GSP와 같은 기하프로그램을 이용하는 교수방법이 개발되어야 한다.
둘째, 학생들이 교수 학습 상황에서 습득한 수학적 지식이 다음 단계 학습의 장애의 원인이 되어 나타남을 볼 수 있다. 이러한 오류는 직관의 특징 중에서, 고집성과 관련된다. 문항 1에서는 59.06% 의 많은 학생들이 오류를 범하고 있다. 세부적으로 살펴보면 문항1의 (1)은 정답률이 1학년(81.81%), 2학년(85.71%), 3학년(90.47%)이었지만, 문항 1의 (2)는 정답률이 1학년(36.36%), 2학년(44.44%), 3학년(46.03%)으로 나타났다. 이는 동수 누가 모델이 이후에 형식적 조작을 필요로 하는 곱셈학습에서는 오히려 어려움을 야기 시킴을 알 수 있다. 이와 유사한 Fischbein(1985)의 연구에서도 이탈리아의 5, 7, 9학년생들에게 문항 1과 같은 문제를 제시하고, 학생들의 정답률을 분석하였다. 그 결과 문항 1의 (1)에서는 정답률이 5학년(79%), 7학년(74%), 9학년(76%)이었지만, 문항 1의 (2)는 정답률이 5학년(27%), 7학년(18%), 9학년(35%)이였다(김수미, 1994). 따라서 수학적 개념이나 원리, 법칙을 지도할 때, 메타인지적 활동을 통해서 직관적 사고의 오류를 줄일 수 있을 것이다.
셋째, 중학생들이 반응한 오류의 유형은 학년별로 비슷하게 나타났다. 이는 학년이 올라감에 따라 오류의 원인이 없어지기보다는 오히려 직관적 사고의 오류가 점점 고착화되어 가는 경향이 있음을 뒷받침해준다. 대부분의 학생들은 각각의 문항에서 보인 답에 대한 이유는 수를 대입해서 계산한 결과 짝수가 되며, 사각형을 눕혀도 높이가 변하지 않으므로 넓이는 같다. 곡선을 펴면 직선보다 길이가 길어지므로 넓이는 다르다 등의 유사한 풀이과정을 기술하였다. 따라서 중학교 학생들의 직관적 사고의 오류를 극복하기 위해서는 교육공학을 적극적으로 활용하는 방법을 모색하는 직관적인 측면이나 논리적인 측면 어느 한 측만을 강조하는 교수방법 보다는 두 가지 측면의 적절한 조화를 이루는 수업이 되어야 할 것이다. 이러한 교수방법을 통해서 이차적 직관을 개발 할 수 있는 지도가 되어야 한다.
넷째, 일반적으로 학년이 올라갈수록 직관적 사고에 대한 오류가 줄어들 것이라 생각할 수 있지만, 본 연구에서는 직관적 사고의 오류의 원인에 따라 학년별로 각각 다르게 나타났다. 문항4에서 확률단원의 학습을 끝낸 3학년이 검사직전에 학습한 2학년 보다 더 많은 오류를 범하는 것으로 나타났다. 이는 학생들이 경험적 직관을 바탕으로 확률적 사고를 하기 때문이라 볼 수 있으며, 학습기간이 길다고 해서 직관적 사고의 원인이 저절로 없어지지 않음을 알 수 있다. 따라서 이를 극복할 수 있는 다양한 교수학습 프로그램의 개발이 이루어 져야 한다.
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