A survey on some bijective proof on Catalan numbers = 크기가 카탈란 수로 주어지는 집합 사이의 전단사함수에 대하여
저자
발행기관
淸州大學校 學術硏究所(Research Institude of Sciences and Arts Chongju University)
학술지명
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발행연도
2023
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English
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학술저널
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조합론의 다양한 장면에서 특정 조건을 만족하는 수학적 대상의 개수가 카탈란 수로 주어진다. 예를 들어, 평면에서 원점 (0,0)을 출발하여 격자점을 따라 (n,n)으로 도착하되, 영역 y ≤ x를 벗어나지 않는 최단경로의 개수는 카탈란 수로 주어진다. 또한 정 n각형에 대각선을 교차 없이 그어서 삼각형으로 분해하는 방법의 수 또한 카탈란 수로 나타난다. 실제로 카탈란 수는 x에 대한 이항계수를 이용하여 명확한 공식으로 표현할 수 있다. 따라서 어떤 수학적 대상의 개수가 카탈란 수임을 증명하는 한 가지 방법은 직접 대상의 수를 정확히 계산하고 그 값이 카탈란 수의 공식과 일치하는지를 확인하는 것이다. 다만 이 방법은 수학적 변할 때마다 직접 그 경우의 수를 정확히 계산해야 한다는 단점이 존재한다.
본 연구논문에서는 특정 조건을 만족하는 수학적 대상들 사이를 연결하는 어떤 함수를 제시하고, 이 함수가 일대일대응임을 증명하여 두 대상의 개수가 동일함을 증명한 후, 그 값이 실제로 카탈란 수임을 제시한다. 이 과정에서 카탈란 수의 교수-학습적 활용 요소를 관찰한다.
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