맥락화를 통한 정수와 분수의 곱셈․나눗셈 지도
저자
발행사항
서울 : 건국대학교 대학원, 2009
학위논문사항
학위논문(박사)-- 건국대학교 대학원 : 수학교육학과 수학교육학 전공 2009. 8
발행연도
2009
작성언어
한국어
주제어
발행국(도시)
서울
형태사항
ⅷ, 158 p. ; 26 cm
일반주기명
지도교수: 장경윤
소장기관
이 연구는 정수와 분수의 곱셈․나눗셈에 관련한 교수-학습을 의미 있게 도울 수 있는 맥락화가 왜 필요하며, 어떻게 가능한지, 또한 맥락화의 효과적인 활용 방안은 무엇인지를 탐구하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 먼저 유리수 사칙연산에 관한 교사의 이해에 대한 조사 결과에서 교사들은 수학교과에서 수와 연산 영역을 매우 중요한 내용 영역으로 인식하고 있으며, 가르치는 데 있어서 큰 어려움을 느끼지 않았다. 그러나 연산 알고리즘에 대한 정확한 이해가 부족하여 단순히 계산 방법을 암기하도록 하는 경우가 많았다.
이에 본 연구에서는 정수와 분수의 곱셈․나눗셈 상황이 자연수의 그것과의 차이는 무엇인지를 살펴보고, 그 차이에 따라 연산 학습을 위한 단계적인 맥락을 제시하며, 각각의 맥락에 적합한 알고리즘의 형식화를 위한 방안을 제시하고자 하였다.
이를 탐색하기 위하여, 정수의 곱셈과 나눗셈에서는 두 수의 부호에 대한 방향성을, 분수 곱셈에서 피승수와 승수의 역할의 차이를 강조하였고, 분수의 나눗셈에서는 자연수에서의 나눗셈의 원리를 그대로 확장 적용시켰다.
정수의 곱셈 맥락화에서 피승수가 양(陽), 음(陰)일 때, 그 양을 각각 긍정적인 역할의 수와 부정적인 역할의 수로, 승수가 양, 음일 때, 각각 동수누가와 동수누감으로 설정하였다. 정수의 나눗셈 중에서 등분제와 포함제는 각각 한 회에 ‘첨가 또는 제거하는 양(量)’과 특정의 양(量)을 ‘첨가 또는 제거하는 횟수’를 구하는 상황으로 해석하였다. 분수의 곱셈에서는 승수인 연산자의 역할을 이해할 수 있는 맥락을 설정하였고, 분수의 나눗셈에서 포함제는 그 몫이 이산량인 경우이면 남은 양이 생길 수 있고, 연속량인 경우에는 분수로 그 몫을 표현해야 하는 맥락으로 구분지었다. 그리고 등분제의 맥락을 자연수의 등분제의 맥락과 연결시켜 제시하였다.
정수의 곱셈․나눗셈의 맥락화에서 형식화로의 연결은 일반화이고, 분수 곱셈의 연결은 단위의 변화에 대한 인식이다. 분수 나눗셈의 연결은 자연수의 나눗셈에서 분수의 나눗셈으로 형식화되는 3단계의 수준별 분절화로 나타내었다.
이상의 본 연구는 정수와 분수의 곱셈․나눗셈에 관하여 학생들의 연산에 관한 실제적인 이해를 돕기 위하여 맥락화의 방안을 고안하고 이를 효과적으로 형식화시킬 수 있는 방안을 제시함으로써 교사와 학생들의 교수-학습 과정에 있어서 유의미한 알고리즘의 습득에 도움을 줄 수 있을 것으로 기대한다.
This study was designed to gain insights into teaching multiplication and division algorithms of integers and fractions. A pilot survey was carried out to investigate in-service teachers' pedagogical understanding on four operations of rational numbers, and the results were shown that they tended to make students simply memorize the algorithms without understanding the meaning.
For this reason, this study intends to examine the differences of situations in multiplying or dividing of integers and fractions comparing to that of natural numbers, to suggest sequential steps for learning operations in accordance with those differences, and to devise methods for formulating algorithms appropriate to each context.
In order to investigate this, the direction of signs is emphasized for the multiplication and division, and the distinctive roles of multiplicands and multipliers are emphasized for the multiplication of fractions, and the principles of division which are equal to natural numbers are widely applied to the division of fractions.
As for the contextualization of multiplication of integers, if the multiplicand is positive, then the quantity is set positively. On the contrary, if it is negative, then it is set negatively. In addition, if the multiplier is positive, then it is regarded as the accumulation of the same number, conversely, if it is negative, then it is regarded as the degression of the same number. In the contextualization of division of integers, the partitive division is interpreted as the circumstance of getting added or subtracted quantity at a time, and the measurement division is comprehended as numbers of times of adding or subtracting certain quantity. In the contextualization of multiplication of fractions, the context is set which helps to understand the role of operator that is a multiplier. As for the contextualization of division of fractions, the measurement division would have the left quantity if the quotient is discrete quantity, while the quotient of the measurement division should be presented as fractions if it is a continuous quantity. Moreover, the context for the partitive division is showed in relation to that of natural numbers.
Connecting the contextualization with formulation of multiplication or division of integers refers to generalization, and in case of multiplication of fractions, it is the recognition of changes in units. The connection of division of fractions is represented as 3 level-differentiated segmentations which is formulated as the division from natural numbers to fractions.
This research is expected to help teachers and students to acquire meaningful algorithms in the process of teaching and learning by devising ways to contextualize and suggesting how to formulate them in order to help students understand operations of multiplication or division of integers and fractions.
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