Arithmetic is the basis of school mathematics and in fact, number and operation in elementary school curriculum is the most basic and essential domain. Instruction of arithmetic should encourage students to experience aspects of arithmetical thinking and construct mathematical insights. Even though there has been a consensus that arithmetic should be taught more meaningfully beyond the emphasis of calculation skills and teachers should emphasize the aspect of the arithmetical thinking, it is difficult to find studies which focus on the arithmetical thinking itself.
It is essential to understand not only the arithmetical thinking itself but also students' arithmetical thinking levels. Therefore, it is necessary to closely analyze the meaning and factors of the arithmetical thinking and explore the level-specific characteristics of arithmetical thinking based on the arithmetical thinking factors. Also, it requires a diagnostic tool to determine students' arithmetical thinking levels to develop students' arithmetical thinking by providing students with opportunities suitable for their levels.
This research aims to extract the factors of the arithmetical thinking and develop an arithmetical thinking level test that can identify students' arithmetical thinking levels by specifying the levels of arithmetical thinking based on the factors. Teachers can use this arithmetical thinking level test to diagnose their students' arithmetical thinking level and establish the guidance to improve their students' arithmetical thinking based on the test results. It is expected to provide practical assistance in laying the foundation for successful arithmetic learning.
For the purpose of this research, the research problems were set as follows.
First, what are the factors of the arithmetical thinking?
Second, what are level-specific characteristics of the arithmetical thinking based on the arithmetical thinking factors?
Third, how should the arithmetical thinking level test be made up?
Specific research methods are as follows.
In order to solve the research problem 1, I reviewed and analyzed the literatures and then conducted Delphi survey to extract arithmetical thinking factors.
In order to solve the research problem 2, I categorized the arithmetical thinking factors extracted from the research problem 1 into 1∼4 levels based on the literature review. To investigate the adequacy of the analysis of the arithmetical thinking levels, I reanalyzed the level-specific characteristics of the arithmetical thinking by checking that it matched the factors classified to the test developed by the Guttman scale in the research problem 3.
In order to solve the research problem 3, I constructed items of the arithmetical thinking level test considering both content and process based on the arithmetical thinking factors and the level-specific characteristics of the arithmetical thinking. The validity and reliability of the items were verified four times, and finally the arithmetical thinking level test which conformed to the Guttman scale was constructed.
From the results of this research, the following conclusions were drawn.
First, the arithmetical thinking consists of 18 factors.
The arithmetical thinking factors are categorized as three categories : number-related arithmetical thinking factors, operation-related arithmetical thinking factors and common factors. As results of the literature review and Delphi survey, five number-related factors, eleven operation-related factors, and two common factors were extracted. Number-related factors include understanding the meaning of numbers, counting numbers, representing numbers, understanding place values ​​and decimal notation, and understanding numerical size and numerical sequences. Operation-related factors include understanding the meanings and principles of arithmetic operations, performing the arithmetic operations, calculating sequentially according to orders, developing efficient calculation method, understanding the properties of operations, representing it as an equation, understanding the relation between operations, trial and checking, recognizing errors in the process and results of operations, modeling a given situation mathematically, selecting the appropriate operation for the problem situation. Common factors include understanding of arithmetic terms and symbols, and quantitative reasoning.
It is important to pay attention to students' arithmetical thinking because there are various factors of the arithmetical thinking. It is necessary to identify the aspects of arithmetical thinking reflected in school mathematics based on the meaning of arithmetical thinking and its factors. Based on this, it is possible to find effective teaching and learning methods of arithmetic focusing on the arithmetical thinking.
Second, the arithmetical thinking factors are categorized into four levels which have different characteristics.
At the level 1 (the behavior level), students count the number of objects and understand the concept of whole numbers. Students understand not only numbers but also arithmetic terms and symbols such as +, ―, ×, ÷, =, and know the basic meanings and principles of arithmetic operations and do four arithmetic operations of whole numbers.
At the level 2 (the representation level), students understand the place value and decimal notation, compare the size of whole numbers, and understand the numerical sequences in the domain of whole numbers. Also, students represent fractions and decimals in various ways, and perform four arithmetic operations of fractions and decimals. At this level, students can calculate the mixed calculations, and represent in an equation.
At the level 3 (the relation level), students compare the size of fractions and decimals. Students also develop efficient calculation methods beyond simple sequential calculations and understand the properties of operations. They understand the relations between the various operations and recognize and find errors in the calculation process and results. They can also solve the arithmetical problems by trial and checking.
At the level 4 (the application level), quantitative reasoning is possible, and the problem can be solved by selecting the appropriate operation for the problem situation. Also students can model a given situation mathematically.
It can be expected that students correspond to different arithmetical thinking levels. Teachers should find proper ways to develop students' arithmetical thinking beyond mastering their arithmetic skills by understanding characteristics of each level and provide appropriate opportunities of learning for each student.
Third, the arithmetical thinking level test of this study was developed satisfying the Guttman scale and it reflects the level-specific characteristics of the arithmetical thinking levels from 1 to 4. It is possible to determine the students’ arithmetical thinking level using this test.
The items of the final arithmetical thinking level test in this study were constructed based on 18 factors extracted from the research problem 1 and were categorized by the arithmetical thinking level of each factor. The test was applied to a total of 1,987 research subjects over four times, and developed according to series of procedures such as analyzing the percentage of correct answers for each item, degree of discrimination, validity and reliability of the collected data. In the final application, the correct answer rate per item was well categorized by four levels, and the degree of discrimination by each level revealed a statistically significant difference. In addition, the Guttman scale's coefficient of reproducibility(CR) was shown as 0.94, which was acceptable according to the Guttman scale, and the reliability was Cronbach α=0.735. Therefore, it can be seen that the arithmetical thinking level test developed in this study can be used to determine the arithmetical thinking level of the testee.
Fourth, according to the results of the final application of the arithmetical thinking level test for 5th and 6th graders, teachers should provide more abundant learning experiences related to the relation level (the level 3) and the application level (the level 4) to increase students' arithmetical thinking level.
The analysis of the students’ arithmetical thinking levels in the final application revealed that about 80% of 5th and 6th graders were still in the level 1 or the level 2. In other words, many 5th and 6th graders still remain at the behavior and the representation level. This result suggests that students have difficulties in moving from the level 2 to the level 3 especially. The reason may be that the level 3 causes students to have cognitive difficulties, but it may be because the factors related to the level 3 are not adequately dealt at the appropriate time in elementary mathematics, even though their levels are higher. Therefore, it is necessary to deal with factors corresponding to the level 3 more meaningfully in elementary mathematics curriculum. In addition, students at the level 3 need to be given greater access to the factors related to the level 4.

일반적으로 초등학교에서 수학을 학습한다는 것은 곧 수와 연산을 학습한다는 의미로 여겨질 만큼 산술은 학교수학의 기본이라 할 수 있고, 실제로 초등학교 교육과정에서 수와 연산 영역은 가장 기본이며 핵심 내용에 해당된다. 학생들의 산술 학습 시에는 기본 개념 이해 및 기초 기능 숙달뿐만 아니라 그와 관련된 사고, 즉 산술적 사고가 수반되어야 하고, 그러한 산술적 사고를 통해서 수학적 안목을 구성하는 방향으로 산술 학습이 이루어져야 한다(김성준, 2003b; 우정호, 2011; Guberman, 2016).
그러나 산술이 계산 기능의 강조를 넘어서 보다 의미 있게 지도되어야 하고 산술적 사고의 측면을 강조해야 한다는 데에 다수의 동의가 있어왔음에도 불구하고, 국내에서 산술적 사고가 무엇이고 어떠한 요소로 구성되는지 등 산술적 사고 자체에 주목한 연구는 찾아보기 어렵다.
산술적 사고에 초점을 맞춘 지도를 위해서는 산술적 사고 자체뿐만 아니라 산술적 사고 수준의 존재에 대한 인식을 토대로 학생들의 산술적 사고 수준에 대한 이해가 필수적이다. 따라서 산술적 사고의 의미와 요소를 면밀히 분석하고, 산술적 사고 요소에 기초한 산술적 사고의 수준별 특징은 어떠한지 탐색할 필요가 있다. 또한 학생들의 산술적 사고 수준에 맞는 학습 기회를 제공하여 학생 개개인의 산술적 사고를 신장할 수 있도록 학생들의 산술적 사고 수준을 판단할 수 있는 진단 도구가 필요하다.
본 연구는 산술적 사고 요소를 추출하고 이에 기초하여 산술적 사고의 수준별 특징을 탐색할 뿐만 아니라, 학생의 산술적 사고 수준을 파악할 수 있는 산술적 사고 수준 검사 도구를 개발하는 것을 목적으로 한다. 이를 통해 학교 현장에서 본 연구의 결과에 기초하여 산술적 사고 신장을 위한 지도 방안을 수립함으로써 수학 학습의 중요한 기초가 되는 성공적인 산술 학습을 위한 토대를 마련하는 데 실질적인 도움을 제공하고자 한다.

연구의 목적을 위하여 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.

가. 산술적 사고는 어떠한 요소로 구성되는가?
나. 산술적 사고 요소에 기초한 산술적 사고의 수준별 특징은 어떠한가?
다. 산술적 사고 수준 검사 도구의 문항 구성은 어떠해야 하는가?

구체적인 연구 방법은 다음과 같다.

‘연구 문제 가’를 해결하기 위해 일차적으로 선행 연구 문헌 분석을 실시하고, 이차적으로 전문가 델파이 조사를 실시하여 산술적 사고 요소를 추출하였다.
‘연구 문제 나’를 해결하기 위해 일차적으로 ‘연구 문제 가’에서 추출된 산술적 사고 요소를 문헌 분석에 기초하여 1～4수준별로 범주화하였다. 이와 같은 범주화를 통해 파악된 산술적 사고 수준별 특징이 적절한지 검토하기 위해 이차적으로 ‘연구 문제 다’의 산술적 사고 수준 검사 도구를 개발한 후 검사 도구에서 Guttman 척도를 따라 수준별로 범주화된 요소와 일치하는지 확인하고, 일치하지 않는 요소에 대해서는 재배치를 실시함으로써 산술적 사고의 수준별 특징을 재분석하였다.
‘연구 문제 다’를 해결하기 위해 ‘연구 문제 가’로부터 추출된 산술적 사고 요소 및 ‘연구 문제 나’의 일차적인 분석 결과 파악된 산술적 사고 수준별 특징에 기초하여 내용적 측면과 과정적 측면을 통합적으로 고려한 문항으로 검사 도구를 구성하였다. 이 검사 도구를 4회에 걸쳐 초등학교 5, 6학년에게 적용한 후 자료를 수집하여 타당도와 신뢰도를 검증하였고, 최종적으로 Guttman 척도를 따르는 산술적 사고 수준 검사 도구를 구성하였다.

본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

첫째, 산술적 사고는 18가지 산술적 사고 요소로 구성된다.
산술적 사고 요소는 수 관련 산술적 사고 요소와 연산 관련 산술적 사고 요소, 공통 요소로 범주화된다. 문헌 분석 및 델파이 조사 결과, 수 관련 요소 5개, 연산 관련 요소 11개, 공통 요소 2개가 추출되었다. 구체적으로 수 관련 산술적 사고 요소에는 수의 의미 이해하기, 수 세기, 수 표현하기, 자릿값과 십진법, 위치적 기수법 이해하기, 수의 크기 및 수 계열 이해하기의 5가지가 포함된다. 연산 관련 산술적 사고 요소에는 사칙연산의 의미와 원리 이해하기, 사칙연산 수행하기, 절차에 맞게 순차적으로 계산하기, 효율적인 계산 방법 개발하기, 연산의 성질 이해하기, 식으로 표현하기, 연산 사이의 관계 이해하기, 예상하고 확인하기, 연산 과정 및 결과에서 오류 인지하기, 상황을 수학적으로 모델링하기, 문제 상황에 적절한 연산 선택하기의 11가지가 해당된다. 마지막으로 공통 요소로는 산술 용어 및 기호 이해하기, 양적 추론하기의 2가지가 추출되었다.
산술 수행 시 다양한 사고 요소가 수반되기 때문에 산술 교육 시 학생들의 사고 작용에 주의를 기울일 필요가 있고, 따라서 산술적 사고의 의미와 산술적 사고 요소에 기초하여 학교수학에 산술적 사고가 반영된 양상을 면밀하게 파악해야 한다. 이를 토대로 산술적 사고를 중심으로 하는 효과적인 산술 교수·학습 방안을 모색할 수 있을 것이다.

둘째, 산술적 사고는 산술적 사고 요소에 따라 4가지 수준으로 구별 가능하다. 각 수준은 다음과 같은 특징을 지닌다.
1수준(행동 수준)에서는 사물의 개수를 세고 자연수의 개념을 이해한다. 숫자뿐만 아니라 +, ―, ×, ÷, =와 같은 산술 기호와 용어를 이해하며, 사칙연산의 기본적인 의미와 원리를 알고 자연수의 사칙연산을 수행할 수 있다.
2수준(표현 수준)에서는 자릿값과 십진법, 위치적 기수법을 이해하고, 자연수의 크기를 비교하며 자연수 범위에서 수 계열을 이해한다. 또한 분수와 소수를 다양하게 표현할 수 있으며, 분수와 소수의 사칙연산을 수행할 수 있다. 이 수준에서는 혼합 계산을 절차에 맞게 순차적으로 계산하고, 식으로의 표현도 가능하다.
3수준(관계 수준)에서는 분수와 소수의 크기를 비교할 수 있다. 또한 단순히 순차적인 계산 수행을 넘어서 효율적인 계산 방법을 개발하고, 연산의 성질을 이해한다. 여러 연산 사이의 관계를 이해하며, 연산 과정 및 결과에서의 오류를 인지하고 찾을 수 있다. 또한 예상하고 확인하기를 통해 문제를 해결할 수 있다.
4수준(적용 수준)에서는 양적 추론이 가능하며, 문제 상황에 적절한 연산을 선택하여 문제를 해결할 수 있다. 또한 주어진 상황을 수학적으로 모델링할 수 있다.
또한 본 연구 결과, 1수준(행동 수준), 2수준(표현 수준), 3수준(관계 수준), 4수준(적용 수준)으로 이동할수록 산술적 사고의 상위 수준의 성격을 띠는 것으로 나타났다. 각 산술적 사고 수준은 그와 관련된 산술적 사고 요소에 기초한 특징을 지님으로써 전후의 사고 수준과 구별되는 양상을 보였다.
수학 교과가 지니는 위계성을 고려할 때 성공적인 산술 교육을 위해서는 산술과 관련된 학생들의 사고 수준, 즉 산술적 사고 수준을 파악하여 그에 적합한 교육을 실시함으로써 학생들의 산술적 사고를 신장하는 것이 중요하다.
본 연구 결과, 학생들이 서로 다른 산술적 사고 수준에 위치함을 예상할 수 있다. 동일한 산술 문제를 해결할 지라도 학생별로 내면에서 작용하는 산술적 사고 수준은 상이하다는 Guberman(2008, 2016), van Hiele(1986)의 주장을 뒷받침하는 것이다. 1수준, 2수준, 3수준, 4수준의 각 수준별 특징을 충분히 이해하여 학생 개개인의 산술적 사고 수준에 적합한 지도 방안을 마련함으로써 단순히 학생들의 산술 기능 숙달을 넘어서서 산술적 사고를 신장할 수 있도록 지도해야 한다.

셋째, 본 연구에서 개발한 산술적 사고 수준 검사 도구는 1수준부터 4수준까지의 산술적 사고 수준별 특징을 반영하며 Guttman 척도를 따르도록 구성되었고, 이를 활용하여 학생들의 산술적 사고 수준을 판별할 수 있다.
본 연구에서의 최종 산술적 사고 수준 검사 도구의 문항은 앞서 문헌 분석 및 델파이 조사를 통해 추출한 18가지 산술적 사고 요소에 기초하여 구성되었으며, 각 요소의 산술적 사고 수준을 예상하여 그에 관한 문항들을 수준별로 범주화하여 배열하였다. 이를 4차에 걸쳐 총 1,987명의 연구 대상에게 적용하고, 수집된 자료의 문항별 정답률, 수준별 변별도, 타당도 및 신뢰도를 분석하여 수정․보완하는 일련의 과정에 따라 개발하였다. 최종 적용 시 문항별 정답률이 4개 수준별로 잘 범주화되었고, 각 수준별 변별도도 p<0.001 수준에서 통계적으로 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 또한 Guttman 척도의 재생 계수(CR)가 0.94로 Guttman 척도에 따라 수용 가능한 것으로 분석되었으며, 신뢰도는 Cronbach α=0.735로 내적합치도가 높은 것으로 나타났다. 따라서 본 연구에서 개발된 산술적 사고 수준 검사 도구를 통해 피검사자의 산술적 사고 수준을 판별할 수 있다.

넷째, 산술적 사고 수준 검사 도구의 최종 적용 시 연구 대상인 초등학교 5, 6학년의 산술적 사고 수준을 판별한 결과에 기초할 때, 학생들의 산술적 사고 수준을 신장하기 위해서 우리나라 초등 수학에서 산술적 사고의 관계 수준(3수준) 및 적용 수준(4수준)에 관련된 학습 경험을 더욱 풍부히 제공해야 한다.
본 연구에서 개발한 산술적 사고 수준 검사 도구가 Guttman 척도에 따라 수용 가능한 것으로 확인되었기 때문에 4차(최종) 적용 시 학생들의 산술적 사고 수준을 분석한 결과, 기본적인 산술 교육을 완료했다고 여겨지는 초등학교 5, 6학년 중 약 80%에 해당하는 학생이 여전히 산술적 사고의 1수준 또는 2수준에 해당하는 것으로 나타났다. 즉 다수의 5, 6학년 학생이 여전히 산술적 사고의 행동 수준 및 표현 수준에 머물러 있는 것이다.
이와 같은 결과는 학생들이 특히 산술적 사고의 2수준에서 3수준으로 이동함에 있어서 어려움을 경험함을 추측케 한다. 이는 3수준에 해당하는 산술적 사고 요소들이 학생들에게 인지적 어려움을 야기하기 때문일 수도 있으나, 한편으로 이러한 요소들이 상위 수준에 해당함에도 불구하고 초등 수학에서 적절한 시기에 충분히 다루어지지 않았기 때문일 수도 있다. 따라서 우리나라 초등 수학에서 산술 교육 시 학생들의 산술적 사고를 보다 신장시키기 위하여 일차적으로 산술적 사고의 3수준(관계 수준)에 해당하는 요소들, 즉 분수와 소수의 크기 비교하기, 효율적인 계산 방법 개발하기, 연산의 성질 이해하기, 연산 사이의 관계 이해하기, 예상하고 확인하기, 연산 과정 및 결과에서 오류 인지하기를 보다 의미 있게, 충분히 다룰 필요가 있다. 또한 3수준의 학생들에게 4수준(적용 수준)에 관한 요소들, 즉 양적 추론하기, 주어진 상황을 수학적으로 모델링하기, 적절한 연산 선택하기를 경험할 수 있는 기회를 보다 확대하여 제공할 필요가 있다.