수학 문제 만들기 학습이 문제 발견 능력에 미치는 영향 = (The) Effect of the Mathematics Problem Posing to the Problem discovery ability
저자
발행사항
서울 : 이화여자대학교 대학원, 2002
학위논문사항
학위논문(석사) -- 이화여자대학교 대학원 , 수학교육학과 , 2002. 8
발행연도
2002
작성언어
한국어
주제어
KDC
410 판사항(4)
발행국(도시)
서울
형태사항
viii, 92p. : 삽도 ; 26cm.
일반주기명
참고문헌: p. 60-63
소장기관
1980년대 이후 교육과정에서는 계속해서 문제 해결력을 강조해오고 있다. 하지만 실제 학교수학에서 문제 해결력을 강조하는 수업은 제대로 이루어지고 있지 못하는 실정이다. 그 요인 중 하나로 문제 해결력을 향상시킬 수 있는 과제의 개발이나 방법이 적절치 못함을 들 수 있다. 이런 상황에서 수학교육계에서는 그 하나의 방법으로 문제 만들기(problem posing)를 생각해 내었고, 본 연구에서도 7차 교육과정에서 강조하는 자기 주도적 학습방법 중의 하나로 문제 만들기 방법을 사용해 보고자 한다.
선행 연구에서는 문제 만들기가 창의력 향상에 미치는 영향이나 문제 만들기와 문제 해결력의 상관 관계에 대한 양적 연구가 많이 있었다. 하지만 양적 연구로는 학생들의 창의적 사고나 문제 해결력의 향상 정도를 전적으로 파악하기는 어렵다고 할 수 있다.
그래서 본 연구에서는 중학교 3학년 두 여학생(H, J 학생)과 함께 문제 만들기 활동을 하면서 연구 이전과 연구 이후의 변화를 인터뷰 해보고 문제 발견 능력, 메타인지, 정의적 영역에서의 변화 상태를 질적 연구 방법을 사용하여 파악하고자 하였다. 질적 연구 방법 중 연구 대상자의 사고 과정 추출을 위해 비구조화된 면담을 하면서 계속되는 자료수집을 통해 코딩과정에 따라 분석하였다. 그리고 학생들의 반응을 계속 기록하면서 최소한 연구자의 참여는 줄이고, 학생들이 필요로 할 때 힌트나 발문을 하여 끝까지 문제 만드는 것에 임하도록 하여 그 변화상태를 살펴보았다.
이러한 연구 목적을 반영하여 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다.
1. 문제 만들기 활동을 통해 문제 발견 능력에서 어떤 변화가 있는가
2. 문제 만들기 활동을 통해 학생들의 메타 인지적 활동에 어떤 변화가 있는가
3. 문제 만들기 활동을 하면서 정의적 영역(민감성, 과제에 대한 집착성)에서 연구 전후 어떤 변화를 보이는가
연구문제 1은 학생들이 주어진 문제나 문제 상황을 보고 다양하게, 많은 문제를 만들 수 있는지, 어떻게 문제를 조직하고 표현하는지, 문제구조나 패턴을 파악할 수 있는지, 얼마나 독창적인 문제를 발견하여 만들 수 있는지 등을 살펴보기 위해 각각에 대한 코딩분류를 하여 살펴보고자 하였다.
연구문제 2는 학생들의 메타 인지적 사고활동을 살펴보기 위한 것으로 각자가 문제를 만드는 과정 중에 개인적으로 생각하는 점이나 문제를 보는 관점에 대한 것, 문제를 만들면서 전략적으로 생각하고 있는 것에 관하여 관찰하기 위해 각 범주에 대한 하위요소를 정하였다.
연구문제 3은 문제를 만들기 위해 필요한 정의적 영역에 관한 것으로 과제에 대하여 어느 정도 집착하여 문제를 만들어내는지, 문제나 문제 상황을 읽을 때 어떤 점을 고려하면서 읽고 문제를 만들어내는지에 대해 코딩분류를 하여 살펴보고자 하였다.
문제 만들기 수업 활동 이전에는 문제 상황이나 기본 문제만을 제시한 상태에서 임의로 문제를 만들어 보라고 하였다. 두 학생은 처음에는 당황해 하였지만, 이전에 보았던 문제 유형을 회상하거나 소재나 용어 사용에 제한 받지 말고 자신이 만들고 싶은 문제를 자유롭게 만들어 보라고 하였다. 그리고, 되도록 많은 문제를 만들어 보라고 하였고, 만든 문제를 보고 그 문제에서 다시 다른 문제를 만들어 보라는 힌트를 주기도 하였다. 그랬더니, 쉬운 문제의 형태에서 나름대로 조건을 바꾸던지, 말을 바꾸어 표현하려고 하였다.
문제 만들기 방법이나 사고 전략을 제시하여 문제 만들기 수업 지도를 한 이후에는 이전과 문제 만드는 사고활동 면에서 다른 모습을 보이기 시작했다. 문제 만들기 방법으로는 첫째, 교과서나 문제집에 나오는 어떤 문제의 필요한 조건을 뺀다든지 더 많은 조건을 주어 제시하였을 때, 잘못된 점을 찾아내어 문제를 해결한 후 기본 문제의 조건과 상황을 변경하여 새로운 문제를 만들게 하는 방법, 둘째, 문제 상황만을 제시하였을 때 필요한 조건과 구하고자 하는 것을 정하여 문제를 만들게 하는 방법, 셋째, 계산식을 제시했을 때, 그 식에 알맞은 문제를 만들게 하는 방법을 사용하였다.
연구를 하면서 J 학생은 문제 만드는 시간이 단축되기 시작하였고, 소재나 용어의 사용이 자유로워졌다. 그리고 문제를 구성하거나 표현하는 것에서 전보다 나아지고 있었다. J 학생이 꾸준히 문제 만들기 학습을 계속한다면 '창조자'의 수준에 오를 수 있다고 생각된다. H 학생도 연구 전보다는 문제 발견 능력 면에서 나아지고 있었지만, 자기 생각을 맘껏 표현하지 못하고 있는 것에 답답해하였다. H 학생은 '수학 활용자'의 수준에 있다고 할 수 있는데, 이 학생에게 맞는 과제를 주어 꾸준히 문제 만들기 수업을 한다면 문제를 발견하는 데 수월해질 수 있을 것이라 생각된다.
문제 만들기 수업 이후에는 연구자의 참여를 줄이고, 학생들 스스로 사고하여 문제를 만들어 보게 하였다. J 학생은 문제 자체에 미지수를 사용한 문제를 제시하고 있었고 답을 먼저 생각한 이후에 거꾸로 그것을 사용하여 문제를 만드는 능력을 보여주었다. 그리고 실생활과 관련하여 자기 주변에서 쉽게 일어날 수 있는 일을 문제 상황으로 제시할 땐 좀 더 접근하기 쉬워하는 듯 하였다. H 학생은 어떤 문제를 만들 것인지 생각은 하지만 구체적인 답을 얻기 위해서 숫자에 집착하여 문제를 만들다 보니 연결하여 문장을 쓰는 데 어려워하였다. 하지만, 연구 이전보다는 자기 생각을 표현하는데 조금은 능동적이 되었다.
이와 같은 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
첫째, 학생들은 문제 상황을 보고 여러 가지 아이디어들을 산출하여 그것들을 조합하는 문제 발견 능력 중에서도 유연성, 표현력, 조직성, 문제 파악 능력이 향상되었다.
둘째, 조건이나 결과들을 자신의 생각대로 변경하면서 수학에 대한 자신감을 갖게 되었고, 자신의 생각을 말로 표현함으로써 자신이 무엇을 하고 있는지를 평가할 수 있게 되었다.
셋째, 문제 만들기 수업을 하면서 연구 이전과는 달리 주어진 과제에 대해 끝까지 매달려 문제를 만들어보려 하였고, 문제 상황을 읽고 나서 전체적으로 어떻게 만들 것인지 생각하는 능력도 향상되었다.
이런 연구 사실을 통해 문제 만들기 활동이 문제 발견 능력과 메타 인지적 활동이나 정의적 영역에 긍정적인 영향을 미치고 있는 것을 볼 수 있었다. 그러므로 실제 학교 수학 학습에 문제 만들기 활동을 연계시켜 단순히 문제를 해결하는 것으로 끝나는 것이 아니라 새로운 문제를 만들어 보거나 문제를 재구성해 보는 기회를 갖도록 해야 할 것이다.
Since the 1980's, the Curriculum has been emphasizing on the problem solving ability. However, actual school mathematics lessons are not capable of emphasizing the problem solving ability. Inadequate development or method of problem solving ability enhancement task is one of the primary factors for this situation. The mathematics educational circles designed 'problem posing' as a solution for the situation. This study will use problem posing method as well, which is emphasized in the self-leading learning method of the 7th Curriculum.
There were many quantitative studies on the influence of problem posing on improving creativity or influence of problem posing on problem solving in the preceding studies. However, quantitative study cannot grasp the level of improvement of creative thinking or problem solving ability of the students completely.
Therefore, this study will have problem posing activity with two middle school third grade girl students (student H and student J). Also, take interviews with the students before and after the study to understand change in problem discovery ability, meta-recognition, definitive field in a qualitative study method. Unstructured interview of qualitative study method was used to extract thinking process of the subject of study, and collected data was analyzed with the coding process. The reactions of the students were recorded, while the participation of researcher was reduced to the minimum. Some hints or advices were given for more initiative in problem posing, and the change was examined.
The study topics were set as below, reflecting the purpose of the study:
1. What kind of change does the problem posing activity bring in problem discovery ability?
2. What kind of change does the problem posing activity bring in the meta-recognition activity of students?
3. What kind of change does the problem posing activity bring in definitive territory(sensitiveness and tenacity on task)?
In study topic 1, coding classification was used on quantity, diversity, structure and expression of problem posing based on students' comprehension of the task or situation, level of comprehension in structure or pattern of the task, and discovering creative problems.
Study topic 2, which examines the meta-recognition thinking activity of students, sets subordinate elements on categories like personal thoughts or viewpoint and strategical thinking on problem posing.
Study topic 3, which examines definitive field of problem posing, uses coding classification on the level of tenacity for task and consideration of task or situation in problem posing.
I suggested voluntary problem posing before starting the problem posing lesson. Two students were confused, therefore I had to tell them to recollect problem type they already knew or create any kind of problem with no restriction of material or terminology. I advised them to make as many problems as possible and make similar problems from original problems. The students tried to make problems slightly changing existing easy problems.
The students began to show change in thinking activity after the problem posing lesson. Problem posing methods were; first, Finding incorrect point and solving the problem, and creating new problem through changing condition and situation of the original problem, when modified problems - with less or more conditions - from the textbook or problem-book were presented; second, creating problem through deciding needed condition and solution, when only the problem situation was presented; third, creating suitable problem, when a calculation form was presented.
Student J's problem posing time stared to reduce and the use of material and terminology was freer after the lesson started. Student J may become a 'creator' with persistent problem posing lessons. Student J used unknown quantity while presenting problems, and she was capable of thinking the solution first and making problem in reverse. She also felt easy, when real life problem situation was presented. Student H has shown improvement in problem discovery ability after the lesson started, but she felt uneasy if she could not express her thoughts well. Student H is on the level of 'practical user of mathematics', and she may show improvement in problem discovery ability with persistent problem posing lessons. Student H contemplates on making the problem, however she clings on to the number while making the problem, thus feeling difficult in writing up the sentences. However, she became more active in expressing her thoughts after the lessons.
The study concludes as below with the results.
First, flexibility, expressiveness, organizing ability, structure and problem understanding ability were improved in the category of problem discovery ability - judging the problem situation, and yielding and mixing many ideas.
Second, grew confidence in mathematics while modifying condition or result as they wish. Evaluated their own thinking process through expressing thoughts with words.
Third, tenacity on task grew after the problem posing lessons. Ability to make a problem after reading the problem situation in a overall way was improved.
The facts show that problem posing activity gives affirmative influence in problem discovery ability and meta-recognition activity or definitive field. Therefore, school lessons should not stop at problem solving, but link problem posing activity in the lessons, so the students could get a chance to make a new problem or reconstruct existing problems.
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