In recent years, the mathematics curricula of Korea and the United States have emphasized the development of mathematical thinking and mathematical power. It is difficult, however, to determine specifically how a school mathematics curriculum should be organized in actual classroom settings to accomplish this goal. In this study, it is assumed that developing students' mathematical thinking and mathematical power requires a school mathematics curriculum that is focused on the students' cognition and offers 'hands-on' mathematical experience. Considering the fact that the concrete significance of mathematical thinking and mathematical power needs to be explained by the cognition of the students, the appropriate level of cognition required of students in the learning experience offered in the curriculum deserves especial attention with regard to the analysis or development of the mathematics curriculum. Based on the premise that the school mathematics curriculum should be designed in such a way that learning activities and tasks will prompt a higher level of cognitive activity among students, the purpose of this study is to compare and analyze the cognitive levels of students in the current Korean and American mathematics curricula. Ultimately, it is a basic study to explore ways to design the future mathematics curriculum. More specifically, this study compares and analyzes the cognitive level required of students in math textbooks as a formally intended and potentially implemented curriculum and in a math class as an actually implemented and experienced curriculum. The focus is on the units on elementary multiplication in South Korea and the United States.
In sum, this research seeks to define the characteristic of the students' cognitive level required in the multiplication unit that is covered in second and third grade textbooks and in the classroom activities of South Korea and the United States. Towards that end, this study addresses the following questions:
1. What is characteristic of the cognitive level of students required in the Korean and American elementary school math textbooks?
1.1 What is the cognitive level of students inferred from the similarities, differences, and characteristics of the organization and structure of elementary-school math textbooks of Korea and the United States?
1.2 What is the cognitive level of students inferred from the similarities, differences, and characteristics of the content of elementary-school math textbooks of Korea and the United States?
1.3 What is the cognitive level of students inferred from the performance expectations required in the activities and tasks presented in the elementary-school math textbooks of Korea and the United States?
2. What is characteristic of the cognitive level of students required in the Korean and American elementary school math classroom instructions?
2.1 What is the cognitive level of students inferred from the similarities, differences, and characteristics of the organization and structure of elementary-school math classroom instruction of Korea and the United States?
2.2 What is the cognitive level of students inferred from the similarities, differences, and characteristics of the content of elementary-school math classroom instruction of Korea and the United States?
2.3 What is the cognitive level of students inferred from the performance expectations required in the activities and tasks in the elementary-school math classrooms of Korea and the United States?
To address these questions, this study examined Korea's math textbook of the Seventh National Curriculum and Investigations in number, data, and space, a textbook developed by TERC, Inc. To study classroom instruction, a second-grade math class at M Private Elementary School in South Korea and a third-grade math class at D Public Elementary School in Columbia, Missouri were observed. The content to be compared and analyzed has been limited to the domain of the multiplication unit. Bloom's taxonomy of cognition was used as the basis of reference for comparative analysis of the organization and structure, content, and performance expectations of the textbooks and classroom instructions, with the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) as a frame of reference for analyzing videotaped records of actual lessons. Bloom's taxonomy provides the basis to examine the students' cognition regardless of the subject matter or unit domain, whereas the TIMSS study's framework for the analysis of videotaped lessons used in the international comparative math achievement studies provides a framework for fair, comparative analysis of actual math lessons in several countries.
The major findings of this study are summarized as follows:
First, with regard to the two countries' math textbooks and math lessons, it was found that, in Korea, greater emphasis is placed on the understanding of concepts, expansion of new knowledge through the internalization of the acquired concepts, and application of the knowledge in problem situations. In the United States, investigative activities for the understanding of concepts are valued over the understanding of concepts or knowledge acquisition, and students are guided to understand concepts and acquire knowledge gradually through various investigative activities. Therefore, Korea's mathematics curriculum may be characterized as deductive, while the U.S. mathematics curriculum may be characterized as inductive.
Second, symbolization, formalization, and generalization are emphasized and introduced in the early grades in Korea, whereas concretization, contextualization and diversification are emphasized in the United States. These characteristics are revealed by the degree of use of concrete objects, reliance on the system of symbols including numerals and numeric expressions, and emphasis on other expressions and shared activities. In Korea, concepts are introduced in practical, everyday situations, but then a great emphasis is immediately placed on numbers and numeric formulas using a system of numbers as abstract symbols and mathematical symbols. As a result, students are simply asked to give a uniform answer in one or two-word responses, without the kinds of discussions or sharing of ideas about the problem-solving process or results. Instead, verification of correct answers and correction of wrong answers are greatly emphasized.
In contrast, in the United States, students are encouraged to use mental thinking, rather than pencil-and-paper work, to perform activities using concrete or semi-concrete objects, and to express their ideas in more than two ways including oral or written presentations, or pictures and charts. Thus, diverse approaches and solutions are allowed, with more importance attached to the process of communicating and sharing of their problem-solving processes and feedback than the results of problem-solving activities. Students refine their mathematical concepts through these processes.
Third, the automatization of mathematical algorithms is emphasized in Korea, while the mathematical(number) sense is emphasized in the U.S. In Korea, once students have learned a mathematical idea, they are encouraged to acquire the idea as formalized and generalized knowledge and apply it automatically in several problem situations. In other words, after a concept, principle underlying a concept, or idea has been explained and understood once, it is formalized and generalized through definitions, theorems, and formulas, and students are then required to go through repetitive drill and practice activities. These drill problems are presented by type, whereby students become familiar with the type and structure as well as the content of the problems. The students are also urged to learn and memorize problem-solving algorithms and master problem-solving strategies. In contrast, in the U.S., all activities are presented as new tasks to perform, and solving of a problem starts from the prior knowledge possessed by students prior to their receiving any direct instruction. Whenever a new activity is presented, students are encouraged to discover mathematical concepts, principles underlying the concepts, and ideas through the whole process of investigation into the given activities and tasks from the recall of prior knowledge through to the reflective evaluation of the given activity. In this process, students are required to draw on every ounce of their knowledge, information, and everyday routine experience to solve the given problem; no guidelines, clues, or examples are provided to them. Students are encouraged to investigate the mathematical subject in the context of everyday life, so an everyday, contextual sense plays an important role in mathematical pursuits. In addition, students are encouraged to translate the results of activities and tasks into an everyday, contextual sense that can be easily applied or used in everyday life. Therefore, no clear distinction is made between math and the domains of everyday life or the other subjects or between different math units. The shaping of a mathematical sense is considered most important.
It may be inferred from these findings that, in terms of the cognition of students, more importance is attached to the levels of knowledge, comprehension, and application in Korea, while relatively more importance is attached to the levels of analysis and synthesis in the U.S. in comparison to the levels of knowledge, comprehension, and application. These findings are also consistent with the results of the study on the use of the performance expectations by frequency and percentage, and they are more evident when the organization, structure, and content of the math curricula and the type and examples of the performance language are examined comprehensively in connection with the contexts.
On the basis of these findings, suggestions to improve the Korean and American math curricula are as follows: In Korea, the emphasis of the math curriculum should be emphasized from the cognitive levels of knowledge, comprehension, and application to analysis and synthesis. Towards this end, textbooks and students' activities and tasks presented in classroom settings should consist of voluntary exploratory activities of students. Instead of passive understanding and acquiring concepts and applying them in a specified manner, activities and tasks should be oriented toward increasing the cognitive level of students by encouraging students to explore and discover concepts, principles, and ideas on their own. In addition, over-emphasis on quickly producing accurate answers during problem-solving activities or automatization of mathematical algorithms should be avoided, while efforts should be made to find ways for students to develop mathematical thinking and mind-sets through exploratory activities, to engage in exploratory activities through diverse ways of expression in the context of everyday life, and to develop their mathematical sense in real, everyday life. In the U. S., efforts should be made to lead students from a high cognitive level of analysis and synthesis to actual problem-solving. The curriculum should be structured so that the rich results of students' exploration and discovery are refined into mathematical concepts and functions that will be clearly applicable to actual problems. In other words, the rich experience acquired from performing mathematical activities and tasks should be systematically organized into mathematical knowledge. This requires a process of arranging experiential knowledge into mathematical knowledge. This process can serve as a powerful platform for any follow-up activities and tasks, and it will also translate students activities into an ability to solve actual problems.

최근, 한국과 미국의 수학 교육과정은 수학적 사고력과 수학적 힘의 신장을 강조하고 있다. 그러나 그러한 목표를 달성하기 위해 학교 수학 교육과정이 실제로 어떻게 구성되어야 할 것인지에 대한 구체적인 방안은 찾아보기 어렵다. 이 연구에서는 학습자의 수학적 사고력과 수학적 힘의 신장을 실천하기 위하여 학습자의 인지에 초점을 둔 학교 수학 교육과정이 제공되어야 하며 교육과정이 제시하는 학습자의 구체적인 활동 경험 가운데 학습자 사고의 진보가 이루어짐으로써 수학적 사고력, 수학적 힘이 신장되어 나가야 할 필요성이 있다고 보았다. 특히, 수학적 사고력과 수학적 힘의 신장이 학습자의 인지에 의해 설명될 필요가 있다는 점을 고려한다면 수학적 사고력 및 수학적 힘의 신장을 위한 학교 수학 교육과정의 분석 및 개발에서는 교육과정을 통해 제시되는 학습 경험이 학습자에게 요구하는 인지 수준은 무엇인지에 대해 관심을 기울일 필요가 있다고 하겠다.
이 연구는 학교 수학 교육과정이 학습자의 수학적 사고력과 수학적 힘의 신장이라는 수학 교육의 목표를 달성하기 위해서는 교육과정에서 제시되는 학습 활동 및 과제가 학습자에게 높은 수준의 인지를 요구하는 방향으로 구성될 필요가 있다는 전제 아래, 향후의 수학 교육과정 구성 방안을 모색하기 위한 기초 연구로서, 한국과 미국의 현행 수학 교육과정에서 요구하는 인지 수준을 비교, 분석하는 데 목적이 있다. 구체적으로 이 연구는 한국과 미국의 초등학교 곱셈 단원을 중심으로 공식적으로 계획되어 잠정적으로 이행된 교육과정으로서의 교과서와 실제로 이행되는 교육과정으로서의 교실 수업에서 요구하는 인지 수준을 비교, 분석함으로써 한국의 수학 교육과정의 개선 방안을 탐색하고자 한다. 이것은 수학적 사고력, 수학적 힘의 신장을 추구하는 수학 교육과정을 실현할 구체적 방향을 제시하기 위한 기초 연구로서 학습자의 인지를 중심적 관점으로 한다.
이와 같은 연구 과제는 "한국과 미국의 초등학교 2∼3학년 단계에서 다루어지는 곱셈 단원 교과서 및 교실 수업에서 요구하는 학습자 인지 수준의 특징은 무엇인가" 라는 연구 문제로 요약할 수 있다. 이 논문에서 답하고자 하는 문제는 다음과 같다.
1. 한국과 미국 초등학교 수학 교과서에서 요구하는 학습자 인지 수준의 특징은 무엇인가?
1.1 한국과 미국 초등학교 수학 교과서 구성 체제 및 조직의 유사점, 차이점 그리고 특징에서 추론되는 학습자의 인지 수준은 무엇인가?
1.2 한국과 미국 초등학교 수학 교과서 내용의 유사점, 차이점 그리고 특징에서 추론되는 학습자의 인지 수준은 무엇인가?
1.3 한국과 미국 초등학교 수학 교과서의 활동 및 과제가 요구하는 수행 용어에서 추론되는 학습자의 인지 수준은 무엇인가?
2. 한국과 미국 초등학교 수학 교실 수업에서 요구하는 학습자 인지 수준의 특징은 무엇인가?
2.1 한국과 미국 초등학교 수학 교실 수업 구성 체제 및 조직의 유사점, 차이점 그리고 특징에서 추론되는 학습자의 인지 수준은 무엇인가?
2.2 한국과 미국 초등학교 수학 교실 수업 내용의 유사점, 차이점 그리고 특징에서 추론되는 학습자의 인지 수준은 무엇인가?
2.3 한국과 미국 초등학교 수학 교실 수업의 활동 및 과제가 요구하는 수행 용어에서 추론되는 학습자의 인지 수준은 무엇인가?
이러한 연구 문제들을 다루기 위하여, 이 연구에서는 한국의 제7차 교육과정에 의해 개발된 수학 교과서와 미국 Technical Education Research Centers(TERC)가 개발한 수학 교과서 Investigations in number, data, and space를 교과서 분석의 대상으로 하였고, 한국의 사립 초등학교인 문화초등학교(가칭) 2학년 수학 수업과 미국 미주리 주 컬럼비아 지역의 공립학교인 Dayville(가칭) 초등학교 3학년 수학 수업을 교실 수업의 분석 대상으로 하였다. 비교 분석의 내용은 곱셈 단원 영역으로 제한하였다.
교과서 및 교실 수업의 구성 체제 및 조직, 내용, 그리고 수행 용어를 비교 분석하기 위한 준거로는 Bloom의 인지 위계 이론을 기본으로 하되 교실 수업 분석에서는 TIMSS(the Third International Mathematics and Science Study) 비디오 분석 준거 틀을 일부 활용하였다. Bloom의 인지 위계 이론은 학습자의 인지를 교과 내용이나 단원의 영역에 관계 없이 일반적으로 고찰할 수 있는 틀을 제공해 주며 TIMSS 비디오 분석 틀은 국제적 수학 성취도 평가 및 비교 분석 연구에서 사용된 것으로, 여러 나라의 수학 교실 수업을 대등하게 비교 분석하기에 유용한 틀을 제공해 준다.
연구 결과를 요약하여 제시하면 다음과 같다. 먼저, 두 나라의 수학 교과서 및 수학 교실 수업에서 드러나는 핵심적인 특징을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 한국에서는 형식화, 일반화된 형태로 제시되는 지식의 획득과 내면화를 통한 새로운 지식의 확충, 그리고 문제 상황에서의 단순 적용을 크게 강조하는 반면, 미국에서는 지식의 획득보다는 개념의 이해를 위한 탐구 활동을 중요시하며 여러 가지 탐구 활동을 통해 개념을 점진적으로 이해하여 수학적 지식을 획득하도록 유도한다.
둘째, 한국에서는 상징화, 형식화, 일반화된 수학적 지식을 단원 초기부터 제시하고 습득할 것을 강조하는 반면, 미국에서는 상징화, 형식화, 일반화보다는 구체화, 맥락화, 다양화를 강조하고 있다. 이러한 특징은 수학적 탐구 활동에서 구체물의 활용 정도, 수와 수식 등 기호 체계에 대한 의존 정도, 그리고 기타 다양한 표현 및 의사 공유 활동에 대한 강조 정도 등에서 확인된다. 한국에서 수학적 개념은 일상 생활의 구체적 맥락에서 도입되지만 곧이어 상징적 수 체계 및 수학적 기호를 사용하여 표현하게 함으로써 수와 수식을 이용한 정확한 표기를 중요시한다. 따라서 문제 해결의 결과는 획일적인 단답형 답안으로 나타나게 되며 문제 해결 과정 및 결과에 대한 별도의 토론이나 의사 공유 없이 다만 정답의 확인과 오답의 수정이 강조된다. 반면, 미국에서는 지필 과제(paper-pencil work)보다는 정신적 사고(mental thinking)를 권장하는 가운데, 구체적 사물이나 반(半)구체물을 이용하여 활동을 전개하도록 하며 말이나 글, 그림, 표 등 두 가지 이상의 방법으로 사고 과정을 표현하도록 한다. 따라서 이들의 문제 해결 과정 및 결과는 상당히 다양하며 문제 해결의 결과 자체보다는 결과가 도출되기까지의 과정에 대한 의사 소통과 의사 공유, 그리고 피드백(feedback)이 중요하게 된다. 수학적인 개념은 의사소통과 의사의 공유를 통하여 정련하도록 유도된다.
한국의 수학 교육과정은 상징화, 일반화, 형식화된 형태의 체계적인 지식을 단원의 초기에 제시하여 학습자로 하여금 이들을 습득하고 구체적 문제 상황에 적용하도록 하므로 연역적인 성격이 강하게 드러나는 반면, 미국의 수학 교육과정은 구체적, 맥락적 활동을 연속적으로 제시하여 학습자로 하여금 다양한 탐구와 탐색을 경험하게 함으로써 수학적 개념을 이해하도록 하므로 귀납적인 성격이 강하다고 할 수 있다.
셋째, 한국에서는 수학적 알고리즘(algorithm)의 자동화를 강조하는 반면 미국에서는 수학적 감각의 형성을 강조한다. 한국에서는 교사 주도적인 설명과 해설로 수학 교과의 핵심 내용이 전달되고 그 내용은 형식화, 일반화, 상징화된 지식으로 습득되며 여러 문제 상황에 익숙하게 적용할 것이 강조된다. 즉, 개념, 원리, 아이디어 등은 교사 중심의 설명과 전달로 이루어지고 정의, 정리, 공식 등 체계적 형태로 요약되며 뒤이어 반복 연습이 주어지게 된다. 이들 연습 문제는 유형별로 제시되므로 여러 문제들을 반복하여 해결하는 가운데 학습자들은 문제의 내용뿐만 아니라 문제의 유형 및 구조에도 익숙해진다. 또한, 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 익히고 외우는 가운데 문제 해결 전략에 숙달된다. 반면, 미국 수업에서 주어지는 모든 활동은 탐구 과제이다. 주어지는 모든 활동의 주제는 학습자가 이전에 경험하지 못한 새로운 탐구 주제일 뿐만 아니라 해결 방법에 따르는 예제가 없으므로 그것을 해결하기 위해서는 학습자가 보유하고 있는 이전의 지식을 총동원해야만 한다. 주어지는 활동 및 과제에 대한 탐구는 학습자가 보유한 기존 지식의 회상으로부터 활동에 대한 반성적 평가에 이르기까지의 과정으로 구성되며 반복되는 탐구 활동에 의해 수학적 개념, 원리, 아이디어 등이 발견되도록 유도된다. 문제 해결에 관한 지침이나 단서, 혹은 예제 등이 주어지지 않으므로 학습자들은 자신이 보유한 지식과 정보, 그리고 일상적 감각 등을 회상하고 활용해야 한다. 활동은 학습자의 일상 생활 맥락에서 탐구되며 활동 및 과제를 통해 탐구된 내용은 일상 생활 맥락에 쉽게 적용하고 이용할 수 있는 생활 감각으로 형성되도록 이끌어진다. 그러므로 수학과 일상 생활 영역, 수학과 기타 다른 교과목의 내용, 그리고 수학 내의 여러 단원 영역에 대한 구별이 엄격하지 않은 가운데 수학적 감각의 형성이 중요한 것으로 강조된다.
이상에서 한국과 미국의 수학 교육과정의 특징을 세 가지로 요약하여 제시하였다. 이러한 특징에서 추론되는 학습자의 인지를 살펴보면, 한국에서는 지식과 이해, 그리고 적용 수준에 높은 비중이 주어지고 미국에서는 지식과 이해, 적용 수준에 치중하는 정도가 낮은 가운데 분석과 종합의 수준이 상대적으로 부각된다는 것을 알 수 있다. 이러한 결과는 수행 용어를 추출하여 빈도수와 백분율을 조사한 결과에서도 드러나며 교육과정 구성 체제 및 조직, 내용, 그리고 수행 용어의 유형 및 수행 용어의 용례 등을 종합적으로 고찰할 때 더욱 분명하게 드러난다.
이러한 연구 결과에 기초하여 한국 수학 교육과정의 개선 방안을 제언하면 다음과 같다. 한국의 수학 교육과정은 지식과 이해, 적용 수준의 인지에 치중하기보다는 분석과 종합 수준의 인지를 강화하는 방향으로 모색되어야 한다. 이를 위해서는 교과서 및 교실 수업에서 제공하는 학습자의 활동 및 과제가 학습자의 자발적인 탐구 활동으로 이루어지도록 할 필요가 있다. 주어지는 개념을 획일적 방법에 따라 형식화된 형태로 이해하고 습득하여 단순히 적용하는 데에 치중할 것이 아니라, 학습자가 수학적 개념, 원리, 아이디어 등을 직접 탐구하고 발견하는 가운데 학습자 인지의 질적 수준이 향상되도록 해야 할 것이며 이러한 과정에서 수학적 사고력, 수학적 힘이 점진적으로 신장되어야 할 것이다. 문제 해결 결과의 신속성, 정확성만을 강조하거나 알고리즘과 문제 해결 전략의 자동화를 지나치게 강조하기보다는 수학적으로 사고하고 수학적으로 탐구하는 방안이 적극적으로 모색되어야 할 것이다. 또한, 수학 교과의 내용을 학습자의 구체적이고 일상적인 맥락에서 감각적으로 이해하도록 하는 방안과 일상 생활 장면에서 수학적 감각을 계발할 수 있는 방안 등이 모색될 필요가 있다. 즉, 수학 교육과정의 내용을 학습자의 실제적 삶과 엄격히 구분함으로써 발생될 수 있는 수학 교과에 대한 거부감이나 부정적 시각을 최소화하고 수학을 학습자의 일상 생활의 일부로 수용할 수 있는 방안이 마련되어야 하는 것이다. 결국, 수학적 개념, 원리, 아이디어 등을 형식화, 일반화된 형태의 객관적 지식으로 학습자에게 일방적으로 제공하기보다는 학습자의 사고와 탐구를 유발하는 사고력, 탐구력 중심으로 구성해야 할 것이다. 그럼으로써 학교 수학 교육과정은 수학적인 원리와 개념을 탐구하고 이해하는 능력뿐만 아니라 수학적 탐구 방법을 사고하는 수준에까지 이르게 할 필요가 있다. 다만, 미국의 사례에서 보듯이 활동 및 과제가 학습자에게 인지적으로 풍부한 경험을 요구하는 방향으로 구성, 개발되고 실제 교실 수업에서 학습자의 생활 맥락에 적절한 활동으로 제시되고 있으나 학습자가 이를 수학적 개념, 원리, 아이디어 등으로 정련하거나 획득하는 데 많은 어려움이 있다는 점을 고려하여 한국에서는 활동 및 과제의 탐구가 수학적 지식의 획득 및 내면화, 그리고 문제 해결 능력으로 연계될 수 있는 방안까지 마련되어야 할 것이다.
수학적 지식을 이해하고 정련하며 체계화하는 과정은 형식화, 일반화된 지식을 단순히 획득하거나 습득하는 것이 아니라, 일상적 생활 장면에서 수학적인 개념을 탐구하고 이해함으로써 '힘있는', 그리고 '적용력 있는' 지식으로 내면화되는 것을 의미해야 할 것이다. 수학적인 탐구 활동 과정에서는 일선의 수학자들이 경험하는 수학적 원리, 개념, 아이디어, 그리고 수학적 탐구 방법 등을 고찰함으로써 수학적 주제를 탐구하는 방법이 구체적으로 경험되고 그것이 다양한 문제를 해결할 수 있는 능력의 기초가 되어야 할 것이다. 궁극적으로, 수학적 사고력, 수학적 힘의 신장을 실현하기 위해서는 수학 교육과정에서 학습자의 수학적 사고가 진보되고 학습자 인지의 질적 수준이 향상되어야 한다는 점을 고려하여 사고의 진보와 인지 수준의 향상을 도모하는 탐구 활동 및 탐구 환경을 구성하여 제시하는 것이 중요하다고 하겠다.