복소수를 활용한 수학 영재 교수-학습 자료 개발 = Development of Mathematics Teaching-Learning Materials for the Gifted Using Complex Number

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 창의적 산출물로 다루어질 수 있는 복소수에 관한 소재를 찾고, 이에 관한 수학 영재 교수-학습 자료 개발을 하는 것이다. 본 논문에서 창의적 산출물로 다루어 질 수 있는 복소수에 관한 소재란 패턴을 이용하여 가우스 정수에서 소수 찾기, 복소수의 극형식을 이용하여 별자리 찾기, 가우스 정수를 2차원으로 보았을 때 3차원으로 볼 수 있는 집합이 존재하지 않는 이유, 프랙탈 기하에서의 복소수의 역할 등 연구자가 선택한 복소수에 관한 내용이다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

가. 창의적 산출물로 다루어질 수 있는 복소수에 관한 소재는 무엇인가?
나. 개발한 복소수를 활용한 수학 영재 교수-학습 자료는 어떠한가?

본 연구의 목적을 달성하기 위하여 교과서 및 교육과정에 있는 복소수에 관한 내용을 검토한 후 연구자의 목적에 맞게 교과서 및 교육과정 외의 복소수에 관한 내용을 검토하였다. 그리고 신현용, 한인기, 이종욱(2000)이 제시한 창의성 신장을 위한 학습 자료 개발 연구의 준거를 가지고 교수-학습 자료의 개발 기준을 선정하여 창의적 산출물을 중시하는 교수-학습 자료를 개발하였다. 개발한 자료의 타당성을 검증받기 위하여 평가 문항을 전문가 4명에게 의뢰하여 개발한 자료의 통계 결과를 분석하였다. 그리고 분석한 결과로 자료를 수정 및 보완하였다.
본 연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다.
첫째, 창의적 산출물로 다루어질 수 있는 복소수에 관한 소재가 무엇인지 연구를 한 결과 자연 탐구활동을 통한 복소수에 관한 소재를 찾을 수 있었다. 소재로는 복소수의 극형식을 이용하여 별자리를 찾는 것, 고사리나 눈꽃송이 같은 프랙탈 기하에서의 복소수의 역할, 3차원 공간으로 볼 수 있는 집합이 존재하지 않는 이유, 양자 역학과 같은 실생활에서의 복소수의 활용이다.

둘째, 개발한 복소수를 활용한 수학 영재 교수-학습 자료는 총 2차시로 구성된다. 1차시에는 복소수와 가우스 평면 의 사칙연산을 이용하여 활동 4개를 제시하였다. 패턴을 이용하여 에서 소수가 에선 소수가 안 되는 수들을 찾는 활동, 5개의 격자점을 택하여 비둘기집의 원리를 이해하는 활동, 복소수의 일반적인 라는 표현을 극형식으로 표현함으로써 밤하늘에 떠 있는 별자리를 찾는 활동, 양자역학 같은 물리학에서 복소수가 실생활에서 어떻게 이용되는지 이해하는 활동이다. 2차시에는 3개의 활동을 제시하였다. 복소수를 2차원 공간으로 봄으로써 얻을 수 있는 유용성과 3차원 공간으로 볼 수 있는 집합은 왜 없는지 생각해 보는 활동, 차원의 확대와 4차원 공간의 도입에 대한 활동, 프랙탈 기하에서 구체적으로 복소수가 어떤 역할을 하는지 수학영재들에게 학습의 기회를 제공하는 활동이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구문제 4
• C. 용어의 정의 4
• D. 연구의 제한점 5
• E. 연구의 기대효과 5
• Ⅱ. 문헌검토 7
• A. 복소수의 탄생 및 발전 8
• B. 복소수의 기본적인 성질 17
• C. 복소수에 관한 내용 19
• D. 자연탐구활동을 통한 영재교육에 대한 실례 25
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 28
• Ⅳ. 복소수에 관한 소재 분석 31
• A. 교과서에서 복소수 단원의 분석 31
• B. 연구목적에 의한 복소수와 관련된 소재 분석 35
• C. 복소수를 활용한 교수-학습 자료 개발 준거 37
• D. 창의적 산출물로 다루어 질 수 있는 복소수에 관한 소재 42
• Ⅴ. 연구결과 43
• A. 교수-학습 자료 개발의 기본방향을 설정 43
• B. 개발한 학습 자료 45
• C. 개발한 학습 자료의 타당성 80
• Ⅵ. 요약 및 결론 82
• A. 요약 82
• B. 결론 84
• 참고문헌 86
• ABSTRACT 89