고등학교에서 순서쌍을 이용한 복소수 지도에 관한 연구 = (A) note on teaching of complex numbers using ordered pairs in highschool

국문 초록 (Abstract)

수학에서 가장 기초가 되는 것은 곧 수이다. 따라서 이 수로부터 형성된 수체계는 수학을 연구하는데 있어서 가장 기초가 된다고 하겠다. 이러한 수체계에서 가장 확장된 것이 복소수체계이다. 수체계는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장된다. 현재 고등학교에서 도입하고 있는 복소수 또한 실수의 확장으로서 그 의미를 설명하고 있다. 실수의 세계에서 방정식을 풀 때에도 복소수는 필요하며 함수나 기하에서도 실수 속에서만 생각하는 것보다는 복소수 속에서 생각하는 것이 보다 많은 이론을 만들어낼 수 있다. 또한 전기나 물리학에서 허수는 반드시 필요하다. 양자역학에서 물리량은 무수한 복소수의 조합으로 표현되기도 하고, 상태를 나타내는 파동함수도 복소함수이다. 따라서 자연계의 현상과 법칙을 알기 위해서는 복소수를 사용하지 않을 수 없다. 복소수의 이와 같은 효용성으로 볼 때, 고등학교 수학에서 효율적인 복소수의 도입을 생각하고 그 방법을 모색해보는 것은 의의 있는 일이다.
현행 고등학교 수학에서는 이차방정식의 허근에서 를 도입하고 실수의 확장으로 이 를 사용하여 단, 는 실수)를 복소수로 도입하고 있다.
이 방법보다는 보다 자연스러운 확장방법으로 실수가 한 개의 수로 나타내어진 수 곧 일차원의 수임에 비해 복소수는 두 개의 수로 나타내어진 순서쌍 , 곧 이차원의 수로 도입을 하는 방법은 바람직한 한 방법이다. 따라서 여기서는 기존의 방법과 순서쌍으로 도입하는 것을 비교 검토하여 순서쌍으로 도입이 가능한 가를 알아보았고 그 활용 곧, 복소수와 평면, 일차변환, 벡터, 행렬에 대해서도 알아보았다.
이상에서 알아본 결과로 복소수는 평면과 연계할 수도 있는 순서쌍으로 도입되고, 복소수를 순서쌍으로 도입한 후에 를 사용하여 (단, 는 실수)로 표현하는 것이 바람직한 지도의 방법이라 생각된다.
결국 복소수를 지도함에 있어서 복소수 그 자체만을 지도하는 것보다는 복소수를 학습함으로 인하여 다른 학습에 연계될 수 있는 여러 가지 현상들을 학생 스스로 연상하고 계획할 수 있는 창의적인 학습활동이 될 수 있도록 지도하여야 하고, 또한 교사는 부단히 노력하여 교과과정은 물론이며 그 이상의 내용도 필요하다면 재구성하여 학생들에게 소개할 필요가 있다고 생각된다.

목차 (Table of Contents)

• 국문요약 = ⅰ
• 목차 = ⅲ
• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 이론적 배경 = 1
• (1) 허수의 발견 = 1
• (2) 복소수의 표현 = 2
• 2. 연구의 필요성 및 선행연구 = 4
• 3. 연구의 제한점 및 연구방법 = 6
• Ⅱ. 본론 = 7
• 1. 현행 교육과정에서의 복소수단원에 대한 교과서 분석 = 7
• (1) 복소수단원에 대한 학습목표 = 7
• (2) 복소수의 정의 = 8
• (3) 복소수의 상등 = 9
• (4) 복소수의 사칙연산 = 9
• (5) 복소수의 연산에 대한 성질 = 10
• 2. 현행 교과서에서의 복소수 단원에 대한 문제점 = 11
• 3. 순서쌍을 사용한 복소수의 도입 = 12
• 4. 복소수의 연산에 대한 기하학적인 표현 = 15
• (1) 덧셈과 뺄셈 = 16
• (2) 켤레복소수 = 19
• (3) 곱셈과 나눗셈 = 20
• 5. 복소수의 활용 = 26
• (1) 복소수와 일차변환(평행이동 및 대칭이동) = 26
• (2) 복소수와 벡터 = 27
• (3) 복소수와 행렬 = 30
• 6. 복소수 지도의 실제 = 31
• (1) 학생 수준 평가(이차방정식의 풀이) = 32
• (2) 순서쌍에 의한 복소수 지도의 실제 = 33
• (3) A, B반의 학습결과 = 59
• Ⅲ. 결론 및 제언 = 62
• ※ 참고문헌 = 65