'소프트웨어 마에스트로'학생의 수학 학습 성장기 : 내러티브 탐구와 공학 도구발생의 관점에서 = A growth history of mathematics learning of software maestro student : from the perspective of narrative inquiry and instrumental genesis

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 내러티브 탐구(Narrative Inquiry)를 이론적 배경과 연구 방법으로 채택하였으므로 서술 방식도 내러티브 탐구의 서술 방식을 따랐다. 연구자는 2009년에 연구참여자가 중학교 1학년에 입학할 때 처음 만났다. 그 당시 연구참여자는 액션스크립트를 사용하여 많은 플래시 게임을 만들었는데, 그 중에 일부를 연구자에게 보여주었다. 또한 연구참여자는 수학 수업시간에 다른 학생들과 구별되는 수업 태도를 가지고 있어서 연구자의 관심을 유발시켰다. 연구자는 1996년에 교직 생활을 시작하면서 PowerPoint를 사용하여 수학 학습 자료를 만들어 교수・학습 활동을 하였으며 그 외에도 Toolbook, GSP, TI-92 계산기, GeoGebra와 같은 공학도구를 활용한 수학적 활동에 관심을 가지고 있었다. 연구자는 연구참여자의 플래시 제작 경험을 통해 기존에 가지고 있던 공학도구를 활용한 학생의 수학적 활동에 대한 시각을 넓힐 수 있었다. 그리고 이를 통해 수학교실에서 공학도구의 사용 주체를 교사가 아닌 학생으로도 생각할 수 있게 되었다.
2010년부터는 수학 동아리 활동을 같이 하면서 TI-92 계산기, GeoGebra와 같은 수학적 공학도구를 활용해서 다양한 활동을 하였다. 그 때 연구참여자는 다양하고 창의적인 공학도구 활용 경험을 통해 많은 산출물들을 만들었다. 이를 계기로 그와 그의 부모님의 동의를 얻고 그의 공학도구를 활용한 수학적 활동에 대한 본격적인 연구가 시작되었다. 다음은 연구에 바탕이 되는 연구문제이다.

1. 연구참여자의 공학도구 활용에 관한 경험과 그 속에서 나타난 수학적 활동은 무엇인가?
2. 연구참여자의 수학적 활동에서 도구발생은 어떻게 나타나는가?
3. 도구발생의 분석을 통해 공학도구들은 어떤 수학적 연관성을 가지는가?

본 연구는 연구참여자의 공학도구를 활용한 수학적 활동을 분석하기 위해 내러티브 탐구와 도구발생(Instrumental Genesis)을 이론적 배경으로 하였다. 특히, 내러티브 탐구는 이론적 배경인 동시에 연구 방법이기도 하다. 이론적 배경으로서의 내러티브 탐구는 연구참여자의 경험을 고찰할 수 있는 이론적 틀을 제공하였다. 한편
연구 방법으로서의 내러티브 탐구를 통해 연구자는 연구참여자의 공학도구 활용에 관한 경험을 시간성, 사회성, 장소라는 삼차원적 공간에서 탐구하여 현장 텍스트를 구성하였다. 연구자는 구성된 현장 텍스트를 분석하여 최종적으로 연구 텍스트를 작성하여 연구 문제 1을 해결하였다.
도구발생은 연구참여자와 공학도구 사이의 관계를 분석하는 이론적인 틀로서, 연구 텍스트로 옮겨진 연구참여자의 경험 속에서 공학도구의 활용과 수학적 의미를 연결시키는 역할을 하였다. 연구참여자의 공학도구 사용에 관한 수학적 경험을 도구발생의 구성 요소인 제스처(gestures), 도구화된 테크닉(instrumented techniques), 조작적 불변자(operational invariants), 그리고 이들을 구성하는 스킴(scheme)으로 구분하고, 이를 바탕으로 도구전용화(instrumentalization)와 도구조정화(instrumentation)로 분류하였다. 이러한 도구발생의 구조에 관한 분석은 연구 문제 2와 연구 문제 3에 반영되었다.
연구자는 연구참여자의 경험을 다양한 현장 텍스트를 통해 삼차원적 공간에서 삼각검증법에 기반을 두고 분석함으로써 연구방법의 신뢰성과 타당성을 확보하였다. 현장 텍스트는 2010년부터 2015년까지 이루어진 22회의 연구참여자와의 인터뷰 자료와 부모, 초등학교에서 고등학교까지의 담임 및 수학 담당교사, 전문가 등의 인터뷰 자료들이 있다. 또한 연구참여자가 초등학교부터 고등학교때까지 액션스크립트로 만든 117개의 플래시 파일, TI-92 계산기 활동의 동영상 자료, GeoGebra 파일, 쪼롤과 같은 기타 공학도구 활용 자료들도 현장 텍스트에 포함되었으며 초, 중, 고의 학교생활기록부와 노트, 상장, 과제 제출 보고서 등이 분석되었다.
초등학교 저학년부터 대학교 1학년까지의 연구참여자의 경험에 대한 전체적인 조망은 그의 시간흐름표에서 볼 수 있으며 구체적으로 문제 만들기 시기, 프로그래밍 시기, 수학적 공학도구 활용 시기, Super Multi-User 시기로 나뉘어져 분석되었으며 연구 텍스트로 서술되어 졌다. 각 시기마다 나타나는 공학도구 사용과 수학적 활동을 도구발생의 관점에서 다시 분석하여 정리하였다. 각 시기에서 중요하게 다뤄지는 공학도구 사용 활동 중에서 수학적 요소들을 추출하여 제스처와 제스처의 조합인 도구화된 테크닉으로 구분하였으며 제스처와 테크닉에 내재되어 있는 조작적 불변자를 탐색하였다. 또한 각각의 공학도구에 관한 도구발생에서 나타나는 도구조정화와 도구전용화를 구분하였다.
문제 만들기 시기에서는 수 쓰기, 사칙연산, 수학 문제 만들기 활동들을 통해 수 쓰기 스킴, 사칙연산 스킴 등이 나타나며 알고리즘적 사고가 발달된다. 프로그래밍 시기에서는 액션스크립트를 사용하여 100개 이상의 플래시 게임을 제작하는 과정에서 변수 설정 스킴, 식 설정 스킴 등이 나타나는데, 이러한 스킴들은 피드백의 용이성에 따라 더욱 복잡하고 정교하게 발전하였다. 또한 문제 만들기 시기에 나타난 알고리즘적 사고는 프로그래밍을 통해 더욱 발전하는 모습을 보여주었고 수학 문제해결에 영향을 미쳤다. 수학적 공학도구 활용 시기에서는 CAS 계산기와 GeoGebra를 활용한 다양한 활동 속에서 변수 설정 스킴과 식 설정 스킴이 나타났으며 함수의 그래프 그리기와 관련된 함수 스킴과 그래프 스킴도 나타났다. Super Multi-User 시기에서는 지금까지 나타난 스킴들과 알고리즘적 사고가 종합적으로 나타나는데, 스킴들은 모듈처럼 구성되어 수학 문제해결 과정에서 연구참여자의 의도대로 자유롭게 사용되었며 이러한 스킴들은 알고리즘으로 연결되어 있었다. 한편 각 시기마다 다양한 형태의 도구전용화 과정이 나타났다.
연구참여자의 공학도구 사용 경험을 탐구하는 과정에서 각 시기에서 형성된 수 쓰기 스킴, 사칙연산 스킴, 변수 설정 스킴, 식 설정 스킴, 함수 스킴, 그래프 스킴 등이 피드백의 용이성과 알고리즘적 사고에 기반을 둔 공학도구의 사용을 통해 발전되는 모습을 볼 수 있었다. 또한 이러한 스킴들은 연구참여자의 수학 문제해결에도 그대로 사용되었는데, 사교육을 받은 경험이 없는 연구참여자는 다양한 스킴과 알고리즘을 사용하여 수학 문제를 해결하는 모습을 보여주었다. 한편 연구참여자의 도구전용화 과정을 통해 두 종류 이상의 공학도구 활용 과정에서 도구의 전이(Instrumental Transfer)와 도구의 진화(Instrumental Evolution) 과정을 탐색할 수 있었다.
지금까지 연구참여자가 다양한 공학도구를 사용하여 10년 동안 이루어 낸 수학적 활동의 경험들을 탐구하고 그 학생과 공학도구와의 관계를 도구발생의 관점에서 살펴보았다. 본 연구는 학생의 공학도구 사용 경험에 대한 울림(resonance)을 일으키며 공학도구를 활용한 수학 문제해결 과정의 분석에 관한 새로운 시사점을 제공한다. 연구의 진행 과정 속에서 연구참여자는 자신의 경험을 되돌아보고 앞으로의 삶의 방향을 모색하는 기회를 가지게 되었으며 연구자도 내러티브 탐구와 도구발생 이론을 통해 수학적 활동에서 공학도구 활용에 관한 새로운 연구의 방향을 모색할 수 있게 되었다. 본 연구는 종단연구의 성격이 강하므로 연구자는 연구를 계속 이어나가 지금까지의 연구 결과들이 앞으로 어떻게 변형되고 발전되어가는 지를 계속 고찰할 것이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• A. Narrative Beginnings 2
• 1. 수학교육에서 공학에 관한 나의 이야기 2
• a. 어렴풋하게 보이지만 길을 가다 3
• b. 그래, 이 길이구나 7
• 2. 영주와의 만남 10
• a. 특별한 아이 10
• b. 궁금한 아이 12
• B. 연구의 필요성 및 연구 문제 13
• 1. 연구의 필요성 및 목적 14
• 2. 연구 문제 18
• Ⅱ. 이론적 배경 19
• A. 내러티브 탐구 19
• 1. 내러티브 탐구의 정의 19
• a. 내러티브의 정의 19
• b. 내러티브 탐구의 정의 21
• c. 내러티브 탐구와 다른 질적 연구방법론들과의 비교 22
• 2. 내러티브 탐구의 필요성 25
• 3. 내러티브 탐구의 철학적 배경 26
• a. 경험의 개념 27
• b. 경험의 형성 30
• 4. 내러티브 탐구의 특성 32
• a. Living – Telling – Retelling – Reliving 32
• b. 내러티브 탐구의 절차 33
• c. 내러티브 탐구의 삼차원적 공간 37
• 5. 내러티브 탐구의 정당성 39
• 6. 내러티브 탐구에 관련된 선행 연구의 분석 40
• a. 국외 선행 연구 분석 41
• b. 국내 선행 연구 분석 44
• B. 도구발생 50
• 1. 도구발생의 역사적, 이론적 배경 52
• a. 역사적 배경 52
• b. 이론적 배경 53
• 2. 도구발생의 개념 55
• a. 인공물과 도구 55
• b. 도구발생 58
• 3. 도구발생의 구성 요소 61
• a. 도구조정화 62
• b. 도구전용화 63
• c. 도구조정화와 도구전용화의 관계 64
• 4. 스킴 66
• a. 조작적 불변자 66
• b. 활용 스킴 68
• c. 사용 스킴과 도구유발 행위 스킴 68
• 5. 제스처와 도구화된 테크닉 71
• a. 제스처와 조작적 불변자 71
• b. 도구화된 테크닉 73
• 6. 도구발생에 관한 선행 연구 분석 79
• Ⅲ. 연구방법론 85
• A. 연구 설계 및 절차 86
• 1. 연구 설계 86
• a. 내러티브 탐구 관점에서의 연구 설계 86
• b. 도구발생 관점에서의 연구 설계 89
• 2. 연구 절차 90
• B. 연구참여자 선정 93
• 1. 연구참여자 선정 과정 93
• 2. 연구참여자의 선정 이유 94
• 3. 연구참여자의 소개 97
• C. 현장 텍스트 소개 및 수집 방법 99
• 1. 연구참여자 인터뷰 99
• 2. 주변 인물 인터뷰 102
• 3. 문서 자료 105
• 4. 인터넷 자료 113
• D. 연구의 타당성 확보 114
• 1. ‘왔다 갔다 하기’ 과정 114
• 2. 연구참여자의 검토 과정 115
• 3. 전문가 검토 과정 116
• E. 연구의 신뢰성 확보 118
• 1. 장시간의 관계 유지 및 지속적인 관찰 118
• 2. 삼각검증법의 활용 119
• F. 연구의 윤리성 확보 120
• Ⅳ. 공학도구 활용에 관한 내러티브적 서술 122
• A. 현재의 모습과 시간흐름표 122
• 1. 소프트웨어 마에스트로 과정에 참여 123
• a. 소프트웨어 마에스트로 과정 소개 123
• b. 소프트웨어 마에스트로 과정에서 영주 모습 124
• 2. 시간흐름표 125
• B. Narrative Account 1: 문제 만들기 시기(6세 ~ 초3) 127
• 1. 수 쓰기와 수학 문제 만들기 127
• 2. 사칙연산 128
• C. Narrative Account 2: 프로그래밍 시기(초4 ~ 중1) 132
• 1. 거듭제곱 계산 132
• 2. 계산기를 사용한 극한값 계산 133
• 3. 공책 게임 133
• 4. 플래시 게임 135
• a. 컴퓨터 사용 초기 135
• b. 플래시 액션스크립트와의 만남 136
• 5. 수학적 활동과 관련된 플래시 자료 138
• a. <계산하기 게임> 138
• b. <음식을 지켜라> 139
• c. <돈 계산하기> 142
• d. <수학 문제 풀이> 144
• e. <플래시 둘러보기> 145
• 6. 수학 학습 태도 146
• D. Narrative Account 3: 수학적 공학도구 활용 시기(중2 ~ 고1) 149
• 1. TI-92 계산기 149
• a. 원 그래프 그리기 150
• b. 계산기를 품은 아이 151
• c. 거듭제곱을 통한 TI-92 계산기의 수 표현의 한계 찾기 151
• d. TI-92 계산기를 사용한 프로그래밍 153
• e. 큰 수를 읽는 numfilt 프로그램 155
• f. 게임 156
• 2. GeoGebra 158
• a. 선풍기 159
• b. 무궁화 161
• 3. 공학도구의 활용 능력을 보여주는 게임과 자료 163
• a. <부루마블> 164
• b. <케미컬 스토리> 165
• c. <육신정행> 166
• d. 플래시 액션스크립트 3.0 강좌 167
• 4. 수학 학습 태도 169
• E. Narrative Account 4: Super Multi-User 시기(고2 ~ 현재) 173
• 1. 불후의 플랜테이션과 헥밤 찾기 173
• a. <불후의 플랜테이션> 게임 173
• b. <헥밤 찾기> 게임 175
• 2. 수학 학습 태도 176
• a. 고등학교에서의 수학 수업 태도 177
• b. 대학교에서의 수학적 활동 179
• 3. 쪼롤 187
• 4. 영주가 생각하는 수학 190
• Ⅴ. 공학도구 활용 경험에서의 도구발생 195
• A. 문제 만들기 시기 195
• 1. 숫자 쓰기 스킴 196
• 2. 사칙연산 스킴 197
• a. ＋스킴, －스킴, ×스킴, ÷스킴 197
• b. 사칙연산 스킴 198
• c. 사칙연산 문제 만들기와 알고리즘 199
• B. 프로그래밍 시기 200
• 1. 스킴 201
• a. 변수 설정 스킴 201
• b. 식 설정 스킴 203
• 2. 프로그래밍 시기의 도구조정화와 도구전용화 204
• C. 수학적 공학도구 활용 시기 206
• 1. TI-92 계산기 206
• a. 스킴 206
• b. TI-92 계산기의 도구조정화와 도구전용화 212
• 2. GeoGebra 214
• a. 스킴 214
• b. GeoGebra의 도구조정화와 도구전용화 217
• D. Super Multi-User 시기 219
• 1. 자유롭고 창의적인 공학도구의 활용 219
• a. 정보올림피아드에서 프로그래밍과 수학 220
• b. 모듈화된 스킴 221
• c. 스킴과 알고리즘 222
• 2. 도구조정화와 도구전용화 223
• Ⅵ. 결 론 225
• A. 요약 225
• B. 공학도구의 사용 경험과 수학적 활동 226
• C. 수학적 활동과 도구발생 232
• 1. 수학적 활동에서 도구발생의 구분 232
• 2. 도구발생의 수학적 연관성 236
• D. 논의 및 제언 240
• 1. 논의 240
• 2. 제언 241
• 참 고 문 헌 243
• 부록 254
• Abstract 261

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