방정식의 문제 만들기 활동을 통해 나타나는 중학생들의 문제해결과정에 관한 연구

국문 초록 (Abstract)

2006년에 발표된 7차 수학과 개정시안의 교수학습활동에서는 1980년대 이후 강조해왔던 문제해결 능력을 기르는 것에 그치지 않고 더욱 확장된 문제해결능력과 창의적 사고로 나아가도록 문제 만들기 활동을 포함하였다. 본 연구는 Polya의 문제 만들기 전략에 따른 문제 만들기 수업을 통해 학생들의 문제구조 인식과 수학화 과정을 조사하여 그들의 학습과정을 파악하고 더 나아가 학생들의 문제해결력 향상을 위한 효과적인 교수 학습에 대해 방향을 제시하고자 하였다. 이를 위해 연구문제로는 첫째, 방정식 단원에서 문제 만들기 활동에서 문제의 구조 파악은 어떻게 나타나는가? 둘째, 방정식 단원에서 문제 만들기 활동과정에 나타난 수학화는 무엇인가? 로 구성하였다. 연구방법으로는 학습과정을 조사하는 것이므로 정성적 사례 연구방법으로써 중학교 방정식 내용을 중심으로 5차시에 걸친 문제 만들기 활동을 구성하여 중학교 2명의 협력학습과정을 관찰 · 면담을 실시하였고, 이 학습과정을 오디오 녹음으로 보존하여 이를 전사하였다. 이와 같은 연구방법을 통해 얻은 연구의 결과는 다음과 같다.
첫째, 문제를 해결하는 데 있어서 주어진 것과 구하려는 것을 알아야 하는데 이는 문제의 외적구조를 파악하는 과정이라 할 수 있다. 그 다음에 주어진 것과 구하는 것의 관계를 방정식으로 세워 알고 있는 수학적 지식을 바탕으로 문제를 해결해 나갈 수 있다. 수학성적이 우수하지 못한 학생들이 자주 하는 질문 중에 똑같은 구조의 문제(상황과 숫자만 바뀐 문제)를 보고 전혀 다른 문제라고 질문하는 경우를 볼 수 있었는데 이는 문제의 구조를 정확히 파악하고 있지 못하고 있기 때문이다. 문제를 보고 바로 식을 세울 수 있을 만큼 쉬운 문제가 아니고 복잡해 보이거나 문제가 길면 수학학습이 부진한 학생들은 문제를 보고 어렵다고 느끼는 경우가 많았다. 이러한 복잡하고 어려운 문제를 접근할 때 문제를 재구성(구하려는 것과 주어진 것을 정리) 해보고 단순하고 쉬운 문제로 바꾸어 문제를 만드는 것이 학생들에게 문제의 구조를 파악하는데 도움을 준다는 것을 알 수 있었다.
둘째, 문제를 풀기 위해서는 주어진 것과 구하려는 것들을 먼저 파악해야 하는데 여기서 학생들은 수학화의 접근이 시작되어 문제를 푸는 과정에서 주어진 것(현상)을 방정식(본질)을 세워서 문제 풀이를 하는 과정에서 수학화과정이 진행되었고 주어진 것과 구하려는 것의 각각의 변인을 바꾸거나 첨가하여 새로운 문제를 구성해야 하는데 이 과정에서 학생들은 풀어 본 문제를 다시 보게 되어서 반성적 사고를 이끌어 낼 수 있는 기회가 되어 발전된 수학화가 이루어졌으며 마지막 단계인 ‘문제 일반화하기’에서 본 문제를 해결한 식(현상)을 일반적인 식(본질)으로 표현하여 확장된 수학화가 이루어졌다.
셋째, 매 문제 마다 ‘문제 일반화하기’단계를 통해서 다시 현상으로 되돌리는 과정을 통해 문제의 구조가 더욱 확실하게 재인지할 수 있는 과정이 되었고 그럼으로써 수학화가 견고해지는 기회가 되었다.
마지막으로 문제 만들기 활동을 활용한 수업은 학생들에게 적극적인 참여를 이끌어 내는 것이 가장 중요하며 적절한 발문을 통해서 학생들의 창의적인 문제 만들기를 할 수 있도록 학습자 중심의 교수 학습 환경이 필요하다. 또한, 주어진 문제에서 벗어나서 새로운 문제를 구성할 수 있는 기회를 제공하여야하는데 이 때 협력학습을 통한 동료의 도움은 매우 효과적임을 알 수 있었다.
결론적으로, 문제가 만들어지는 과정은 문제의 구조를 확실하게 이해하는 과정이 필요하며 이를 바탕으로 문제가 만들어지는 요소와 원리를 알게 되는 기회가 되고, 이를 해결하는 과정은 점진적인 수학화가 이루어지도록 교사가 이해하고 안내하는 것이 그 과정을 돕는다는 것을 알 수 있었다. 이 때 교사가 접근할 수 있는 전략으로는 문제의 외적구조를 단순화하고 또 내적구조에 필요한 대수적 사고를 학생의 수준에 따라 파악해서 이를 재인지할 수 있는 기회로 삼을 수 있도록 학습환경을 제공하는 것임을 알 수 있었다. 본 연구를 통해 진정한 수학화는 문제구조를 모르고 이루어질 수 없으며 또한, 문제구조만으로는 진정한 수학화를 기대하기는 어렵다. 따라서 수학화와 문제구조는 문제해결과정에서 서로 별개의 것이 아니라 세부적으로 구분할 수 있을 뿐 서로 보완하는 필요충분조건이 됨을 알 수 있다. 따라서 앞으로 수학의 여러 다른 내용에서도 문제 만들기 활동은 꾸준히 연구되어야하며 이 때 수학화와 문제구조를 발전적으로 제시하고 접근할 수 있는 교수학습 방법과 학습자료가 제시되어 현장의 교수학습을 도와야 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In the revised version of the 7th mathematics national curriculum announced 2006, problem posing activities in teaching and learning school mathematics were recommended so as to expand problem-solving ability and creative thinking even more, not only just for improving problem-solving ability focused since 1980s. The current study aimed to investigate students' learning process by examining their perception process of problem structure and mathematization, and further to suggest an effective teaching method to improve students' problem-solving ability by providing the instructional material according to Polya's problem-posing strategy.
For the purposes of the research, two following research questions were set to find students' processes in problem posing; firstly, how were the problem structure presented in students' problem-posing activities for the equation dealt in the middle school?; secondly, how was mathematization taking place in students' problem-posing activities for the equation? Using the qualitative research method, the researcher observed the collaborative learning of two middle school students by providing problem-posing activities of five lessons and interviewed the students during their performance. Also students' learning processes were recorded in audio tapes and transcribed into Korean written form. The following results were gained through the research.
First of all, the mathematical facts given in a problem and the mathematical results to be found should be examined, which consisted of the part of problem structure and were a foundation to solve the problem on the basis of mathematical knowledge they already knew by making mathematical formula out of the given facts. It was often found that students with a lower achievement(slow learners) considered two problems even when they were in the same structure (where only situations and numbers of the problem changed) totally different ones, because they did not see the problem in terms of the structure of the problem. The slow learners didn't find the problem as easy as they could make formulas immediately and instead perceived it complicated or very difficult. It was found that the problem structure (things given and things to be found) modified by arranging and transforming them into simple and easy ones like giving a simpler number onto a known variable was helpful for students to proceed in solving the problem, getting them over their difficulty when encountering complicated and difficult problems.
Secondly, mathematization was conducted by making equations(noumenon) out of given facts (phenomena) in the first place while the things given and the things to be found should be analyzed first in order to solve problems: students generated new problems by changing variables or adding new variables for something given and something to be found, and here the advanced mathematization took place with eliciting reflective thinking by having them seeing problems they have previously solved; and the expanded mathematization was performed by building a formula using the problems (phenomena) as the generalized formula (noumenon) in ‘generalizing the problem’ at the final stage.
Thirdly, the problem structure has been recognized even firmly and mathematization has become more solid through revisiting the phenomena for ‘generalizing the problem’ for each problem.
Lastly, for the problem-posing, getting students to be a active participant was an important factor to make it effective. In result, the learner-centered learning environment is necessary so that students can make creative problems through teacher's appropriate questioning. In addition, it was required to provide opportunities to make new problems beyond given problems, and also, it was found that peer teaching through collaborative learning was very helpful in process of problem posing.
In conclusion, it was observed that the process of problem posing required accurate understanding of problem structures and this became an opportunity to understand elements and principles of the problem to find the relation of the problem. So, the teachers should guide students to experience the gradual mathematization in process of the problem posing. At this time, teachers may use a strategy of simplifying external structure of the problem and analyzing algebraical thinking necessary to internal structure according to students' level so that students are able to recognize the problem. In the current study, it was found that the authentic mathematization can neither be performed without understanding the problem structure nor only understanding of the problem structure guaranteed the authentic mathematization. Accordingly, mathematization and structure of problems are not separate from each other, Therefore, the topic of problem posing should steadily be studied in various areas of mathematics, to guide the teaching and learning mathematics in schools where the mathematization and the problem structure are weaved to make their math class meaningful.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 목적 및 필요성 = 1
• 2. 연구 문제 = 2
• 3. 연구의 제한점 = 2
• 4. 용어의 정의 = 3
• Ⅱ. 이론적 배경 = 4
• 1. Polya의 문제해결 과정과 문제 만들기 = 4
• 2. Freudenthal의 수학교수-학습이론 = 5
• 3. 문제의 구조 = 7
• 4. 방정식과 관련된 대수적 사고 = 8
• 5. 선행연구 고찰 = 9
• Ⅲ. 연구 방법 = 12
• 1. 연구 대상 = 12
• 2. 연구의 도구 = 13
• 3. 연구 절차 및 분석 = 15
• Ⅳ. 연구의 결과 = 16
• 1. 차시별 수업결과 분석 = 16
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 39
• 1. 결론 = 39
• 2. 제언 = 40
• 참고문헌 = 43
• ABSTRACT = 44
• 부록 = 47