복소수와 방정식에 대한 현직교사의 수학적 지식(MKT) 분석 = A Study on the Mathematical Knowledge of Mathematic Teachers for Teaching Complex Numbers and Equation

국문 초록 (Abstract)

본 연구에서는 수학 교사들이 복소수와 방정식의 개념들을 어떻게 이해하고 있으며 학생들을 지도할 때 어떤 방식으로 접근하는지를 심층적으로 살펴보았다. 이를 통해 복소수와 방정식을 지도하는 방법과 교사의 개념 이해의 관련성을 분석하는 과정에 대한 기초 자료를 제공하고, 학교 현장에서 수학 교사의 수업 전문성 강화를 위해 무엇이 필요하고 우선되어야하는지 현직 교사 재교육의 관점에서 교수학적 시사점을 제시하고자 했다.

연구 목적을 위해 연구문제를 다음과 같이 설정하였다.

1. 현직 교사들이 가진 복소수와 방정식 지도를 위한 ‘교과 내용 지식-특수 내용 지식(SCK)’은 어떠한가?

1-1. 교사는 복소수 연산에 대한 교과서의 진술 방식을 대수적 구조와 관련하여 어떻게 해석하는가?
1-2. 교사는 방정식 풀이의 대수적 구조를 어떻게 이해하고 있는가?
1-3. 교사는 복소수의 대수적 완비성에 대해 어떻게 이해하고 있는가?

2. 현직 교사들이 가진 복소수와 방정식 지도를 위한 ‘교수학적 내용 지식(PCK)’은 어떠한가?

2-1. 교사는 복소수의 대소 비교 불가능에 대해 학생이 범할 수 있는 오류를어떻게 예측하며, 이를 바로잡기 위해 어떻게 지도하는가?
2-2. 교사는 음수의 제곱근의 계산에서 학생이 범할 수 있는 오류를 어떻게 인식하며, 이를 바로잡기 위해 어떻게 지도하는가?

연구문제 해결을 위해 2012년 7월에서 8월까지 2개월 동안 경기도 광주시, 구리시, 남양주시, 성남시, 수원시, 경상남도 김해시에 소재한 8개 인문계열 일반계 고등학교의 현직 수학 교사들을 대상으로 설문조사를 실시하여, 62부의 설문지에 응답한 현직 교사들을 분석 대상으로 삼았다.

설문지를 분석하여 복소수와 방정식에 관한 현직 교사의 교과 내용 지식-특수 내용 지식(SCK)에 대해 다음과 같은 연구 결과를 얻었다.
복소수와 방정식에 관한 현직 교사의 SCK는 복소수의 연산과 이차방정식 풀이의 대수적 구조, 복소수의 대수적 완비성에 대한 수학적 지식으로 나누어 살펴보았다. 39%(24명)의 교사가 복소수 연산에 대한 교과서의 전개방식의 차이를 ‘역연산(대수적 구조) 관계’로 설명할 수 있는 수학적 지식을 갖추고 있었다. 또한 교사들은 교과서의 전개 순서를 대수적 구조와 관련시키기보다는 학생들이 복소수 계산에 능숙해지는데 어떤 방식이 더 효과적인가로 해석하고 판단하는 경향이 강했다. 즉, 현직 교사들이 교과서의 의도를 해석할 수 있도록 돕는 수체계의 대수적 구조에 대한 SCK보다는 수업 경험을 통해 복소수 연산에 대한 절차적 지도 관점(PCK)을 선택하고 있음을 알 수 있었다. 대부분의 교사들은 복소수가 실수의 연산 법칙을 그대로 만족하도록 정의되어 있는 점을 근거로 허수 계수의 이차방정식에서도 근의 공식과 근과 계수와의 관계가 성립한다고 판단할 수 있었다. 그러나 일부는 루트안에 허수가 들어가는 경우에 대해 혼란스러워하며 수학적 판단에 어려움을 겪었다. 마지막으로 대수학적 기본정리에 대한 교사의 수학적 지식이 복소계수 방정식으로 확장되지 못하고, ‘실수가 아니면 허수’와 같은 도식에 따라 복소수의 대수적 완비성을 이해하고 있는 경우가 많았다.
복소수에 관한 교수학적 내용 지식(PCK) 중에서 내용과 학생에 대한 지식(KCS)은 음수의 제곱근의 곱셈과 허수의 대소 비교에서 학생들이 자주 범하는 오류를 현직 교사들이 어떻게 예측하거나 판단하는지를 통해 알아보았다. 교사들은 음수의 제곱근의 계산에서 학생이 틀린 부분은 정확히 찾아내었으나 그 원인에 해당하는 오류를 학생의 풀이 과정 전체를 놓고 분석하기보다는 틀린 곳만 고립적으로 보고 판단하는 경향이 있었다. 또한 복소수의 대소 비교에서는 교사 자신이 수학적 판단에 어려움을 겪은 것과 마찬가지로 학생들 역시 실수 전체에서 성립하는 부등식의 성질 ‘a>b ⇔ a+c > b+c’을 복소수에 확대 적용하는 오류를 가장 많이 범하리라 예측하였다.
PCK 중 내용과 교수에 대한 지식(KCT)은 현직 교사들이 음수의 제곱근의 곱셈과 허수의 대소 비교에서 학생이 범한 오류를 바로잡기 위해 어떻게 지도하는지를 통해 조사해보았다. 교사들은 대부분 계산 순서에 관한 지침을 주거나 계산 규칙을 제시하는 등 학생이 음수의 제곱근 곱셈을 헛갈리지 않고 능숙하게 계산하도록 도움을 주는데 초점을 두는 절차적 오류 교정 지도 관점을 가지고 있었다. 또한 허수가 대소 비교 가능하다는 오류에 대한 교정 지도는 단순히 ‘허수는 대소 비교 불가’라는 형식적인 설명이 주를 이뤘다. 학생이 개념적 어려움을 겪는 주제임에도 교사들이 형식적인 지도 방법을 선택할 수 밖에 없는데는 여러 이유가 있을 수 있겠지만, 허수의 대소 비교에 대해 복소평면, 복소수의 극형식이 빠진 교육과정 범위 안의 지식만으로 설명하기 쉽지 않기 때문에 교사들 역시 허수의 대소 비교에 대해 형식적인 접근을 하게 되며 이것이 오류를 범하는 학생을 지도하기 위한 KCT에도 영향을 미치고 있는 것으로 보인다.
결론적으로 상당수의 현직 교사들이 학교 수학을 고등 수학의 상위 관점에서 파악하고 그 수학적 타당성을 판단하기 보다는, 되도록 교육과정 범위 안의 내용과 방법으로 학교 수학을 이해하고 받아들이는 것으로 나타났다. 즉, 교사들은 다년간 교육과정, 교과서 중심의 수업을 수행하면서 자연스럽게 고등 수학적 지식보다는 교육과정 범위 안에서 사용할 수 있는 지식이나 방법을 기초로 학생들이 받아들이기 쉬운 내용과 친숙한 방법을 선택하는 경향을 갖고 있음을 알 수 있었다. 또한, 교사들에겐 학생의 풀이를 전체적으로 조망하고 분석하여 학생의 오류를 보다 정확하게 짚어낼 수 있는 KCS가 필요함을 알 수 있었다. 그리고 교사들은 학생의 오류를 바로잡기 위해 대부분 개념적 접근보다는 계산 순서를 제시하거나 형식적인 설명을 주로 제시하고 있었다. 이러한 연구 결과들은 교사들에게 학교 수학의 각 주제들을 학문적 관점에서 깊이 이해하고, 각 내용들이 서로 어떤 맥락으로 이어지는지 고등 수학의 상위 관점에서 파악할 수 있도록 돕는 수학적 지식이 필요함을 시사한다.

학교의 수업이 주로 교과서를 중심으로 이루어지는 현실에서, 수학 교사가 학생의 수학적 사고 과정에 의미있는 개념적 정보를 제공하여 학생의 수학적 탐구를 이끌어주고 개념적 이해를 심화시키는 역할을 수행하기 위해서는, 교사 자신의 수학적 지식을 바탕으로 교과서가 왜 어떤 내용을 포함하며, 왜 그렇게 전개되는가를 이해하고 있어야 하며, 수업에 맞게 수정․보완하여 재구성할 수 있어야 한다. 따라서 다양한 수학적 주제에 대한 교사의 개념 이해와 교수․학습 방법사이의 관련성을 분석하는 연구들이 이루어질 필요가 있다. 또한 현재 활발하게 일어나고 있는 수학 교사들의 수업 전문성 개발에 대한 논의가 수업 방법적인 측면뿐만 아니라 수학 교사들이 효과적인 수학 수업을 위한 수학적 지식을 갖추고 발전시켜나갈 수 있도록 지속적으로 수학 교사를 체계적으로 지원하는 방안에 대해서도 이루어져야할 것이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구문제 5
• C. 용어의 정의 6
• D. 연구의 제한점 8
• Ⅱ. 문헌 검토 9
• A. 복소수와 방정식 9
• 1. 삼차방정식의 해와 복소수의 등장 9
• 2. 대수학의 기본정리와 복소수 12
• 3. 복소수의 대수적 구조 14
• 4. 학교수학에서의 복소수와 방정식 19
• B. 교사의 전문성 24
• 1. 교수를 위한 지식(PCK) 24
• 2. 수학 교사의 교수를 위한 수학적 지식(MKT) 27
• C. 선행연구 고찰 30
• 1. 복소수와 방정식 지도에 대한 선행연구 30
• 2. 복소수 지도를 위한 수학적 지식(MKTc) 31
• 3. 복소수 학습에서 학생들이 겪는 어려움 34
• 4. 교사지식에 대한 선행연구 38
• Ⅲ. 연구 방법 40
• A. 연구 대상 및 절차 40
• 1. 자료 수집 40
• 2. 연구 대상 41
• 3. 연구 절차 44
• B. 조사 문항 설계 46
• 1. 문항 설계 46
• 2. 조사 문항의 구성 47
• Ⅳ. 조사 결과 분석 49
• A. 문항 1 (복소수의 대수적 구조) 49
• B. 문항 2 (복소수의 대소관계) 66
• C. 문항 3 (음수의 제곱근) 81
• D. 문항 4 (이차방정식과 복소수) 92
• E. 문항 5 (대수학의 기본정리) 108
• Ⅴ. 요약 및 논의 122
• A. 요약 및 결론 122
• B. 논의 및 제언 135
• 참고문헌 138
• 부록 143
• ABSTRACT 151