교과서에 표현된 복소수와 이에 대한 학생들의 이해실태분석 = Complex number on textbooks and Analysis on understanding state of students

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 ‘2007 개정 교육과정 해설서’와 16종의 수학교과서 내용을 먼저 분석하였고, 이를 토대로 복소수 단원의 내용을 학생들이 어떻게 이해하고 있는가를 조사하는 검사지를 제작하여 일반계 고등학생들의 이해 실태를 알아내는데 목적이 있다. 즉, 일반계 고등학교 교과서의 복소수 단원 내용은 어떻게 구성되어 있는지, 학생들이 복소수 개념을 어떻게 이해하고 있는지를 알아보고자 하였다.

이러한 연구 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.

연구문제 1.
개정 7차 교육과정에서 복소수 단원의 내용은 어떻게 구성되어 있는가? 그리고 교과서의 복소수 단원의 내용은 복소수 개념을 학습하기에 적절하게 구성되어 있는가?

연구문제 2.
일반계 고등학생들은 복소수 단원을 학습한 이 후, 복소수 개념을 파악하고 있는가?

연구문제 1을 수행하기 위하여 ‘2007 고등학교 교육과정 해설서를 분석하고, 16종의 일반계 고등학교 수학 교과서를 비교 검토하였다. 그리고 연구문제 2를 수행하기 위하여 대구에 있는 일반계 고등학교 상위수준 학생들을 대상으로 정하였다. 검사를 위해서 교육과정의 내용을 기반으로 복소수 개념에 관련된 4문제를 제작하여 검사를 실시하였다.

연구문제에 대한 연구결과는 다음과 같이 요약할 수 있다.
첫째, 교과서의 복소수 단원 내용은 복소수 개념을 논리적으로 구성하지 못하고 있다. 허수단위의 도입에서 두 가지 표기가 이유 없이 제시되고 있고, 이는 음수 제곱근의 두 가지 표기법으로 이어지고 있다. 구분기호와 연산기호의 차이에 대한 설명이 전혀 없다. 복소평면의 제외는 복소수 개념 자체의 형성을 더 어렵게 하고 있다. 개념들이 논리적 설명 없이 정의로서 제시되고 있다.
둘째, 첫째에서 지적한 내용의 교과서로 학습한 학생들로서는 너무도 당연하게 복소수 개념이 형성되어 있는 것이 아니라 실수 집합의 연산의 확장 정도로 인식하고 있다. 이는 복소수 연산의 혼란을 야기하고 있고 복소수 수체계 자체에 대한 이미지 형성이 이루어지지 않았다고 할 수 있다.

본 연구로부터 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있다.
첫째, 7차 교육과정으로 넘어오면서 학습부담 경감을 위하여 복소수 단원의 내용이 지나치게 축약된 결과 단원의 논리적 구성이 불가능해졌으므로 단원 내용의 올바른 구성을 위해서는 양적 확충이 필요하며, 형식적 조작기에 해당되는 고등학생 단계에 맞게 논리적으로 구성할 필요가 있다.
둘째, 교사들은 복소수 단원 내용의 중요성을 인지하고 학생들이 개념적이고 논리적인 사고를 할 수 있도록 단원의 내용을 재구성하고 정확한 개념구성과 논리적 내용전개를 통하여 지도할 필요가 있다고 생각된다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this study, contents of ‘the 2007 revised curriculum handbook’ and 16 kinds of mathematics textbook were analyzed first. The purpose of this study is to examine the understanding state of students at general high schools by making questionnaires to survey the understanding state on contents of chapter of complex number based on above analysis. In other words, I would like to investigate the compositions of chapter of complex number on the textbook of general high schools and how students understand the concept of complex number.
Research question 1
How is the content of chapter of complex number configured in the 7th revision of curriculum? Is the configuration of content of chapter of complex number appropriate for students to learn the concept of complex number ?

Research question 2
Once students in general high schools learned the chapter of complex number, did they understand the concept of complex number?

In order to perform the research question 1, ‘2007 high school curriculum handbooks were analyzed and 16 kinds of mathematics textbook for general high schools were compared. In order to perform the research question 2, high-level students of freshmen at general high schools located in Daegu were set as target. For the test, 4 questions related to the concept of complex number on the basis of contents of curriculum were made and the test was conducted.

Results of research on these research questions can be summarized as follows.
First, the content of chapter of complex number in textbook was not logically organized. In the introduction of imaginary number unit, two kinds of marks were presented without any reason and it has led to two kinds of notation of negative square root. There was no explanation of difference between delimiter symbol and operator symbol at all. The exclusion of complex plane made it difficult to form the concept of complex number itself. The concepts were presented as definition without logical explanations.
Second, students who learned with textbook in which problems were pointed out above did not have concept of complex number for granted, and recognized it as expansion of operation of set of real numbers. It meant that they were confused of operation of complex numbers and did not form the image about number system itself of complex number.

Implications from this study can be obtained as follows.
First, as we came over to the 7th curriculum, the contents of chapter of complex number were too abbreviated to have the logical configuration of chapter in order to remove the burden for learning. Therefore, the quantitative expansion and logical configuration fit to the level for high school students corresponding to the formal operating stage are required for correct configuration of contents of chapter.
Second, teachers realize the importance of chapter of complex number and reconstruct the contents of chapter to let students think conceptually and logically. Also they need to teach them through the accurate concept configuration and logical deployment of contents.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• Ⅱ. 이론적 배경 4
• 1. 복소수의 수학적 본질 4
• 2. 개념 이해에 관하여 6
• 3. 수학에서의 정의 8
• 4. 서술의 엄밀성과 정당화에 대하여 11
• Ⅲ. 연구 방법 12
• 1. 교과내용 분석 12
• 2. 연구의 내용 27
• Ⅳ. 연구 결과 및 분석 30
• 1. 응답빈도 30
• 2. 이유 서술의 분류 30
• Ⅴ. 결론 및 제언 38
• 참고문헌 40
• [부록] 검사지 43
• ABSTRACT 44