원뿔곡선을 이용한 일반각의 3등분선 작도문제의 CLAIC 모형 적용 교수-학습 자료 개발

국문 초록 (Abstract)

국문초록

원뿔곡선을 이용한 일반각의 3등분선 작도문제의
CLAIC 모형 적용 교수-학습 자료 개발

김 양
( 지도교수 김향숙 )
인제대학교 대학원 컴퓨터응용과학과

본 연구는 현행 중등수학에서 해석기하와 논증기하의 조화를 이룰 수 있는 방안의 하나로써, 원뿔곡선에 관한 Apollonius의 symptoms를 활용한 Pappus의 일반각의 3등분선 작도문제를 2015 개정 수학과 교육과정에서 다루는 내용으로 해석, 작도, 증명의 과정으로 재조명하고 설명한다. 더욱이 기하의 기본 성질만으로도 수학교육용 소프트웨어 중 하나인 동적 기하 소프트웨어 GSP (Geometer’s Sketchpad)를 활용하여 Nicomedes의 ‘conchoid’를 이용한 방법을 출발점으로, Apollonius의 원뿔곡선에 관한 symptoms을 이용하여 Pappus가 보인 일반각의 3등분선 작도문제에 관한 세 가지 방법 즉, 쌍곡선과 원을 이용한 방법, 원호의 3등분을 이용한 방법, 쌍곡선의 초점과 준선을 이용한 방법을 새롭게 구현하고 시각화하여 탐구한다. 또한, 고대 그리스 기하의 태동하던 역사적 배경 속에서는 실제로 해결과정이 그 당시 ‘기계적인 방법’이라고 외면당했던, ‘곡선을 이용한 방법’으로 일반각의 3등분선 작도문제를 체계적으로 해결함으로써, 원래의 문제를 간결하게 해결한 내용들을 본 연구에서는 소개한다.
특히, Pappus가 보인 쌍곡선과 원을 이용한 방법, 원호의 3등분을 이용한 방법, 쌍곡선의 초점과 준선을 이용한 방법에서는 좌표평면이 아닌 일반평면상에서도 Apollonius의 symptoms을 이용하여 쌍곡선을 구현할 수 있음을 보이고, 나아가 Pappus가 발견한 이심률이 2인 쌍곡선을 Apollonius의 원을 이용하여 재해석하고 시각화하였다.
더욱이 수학화 이론 기반 교수학습 방법론을 고찰하고 새로운 교수-학습 모형(CLAIC 모형)을 제안하며 CLAIC 모형에 적용한 새로운 교수학습 자료를 개발함으로써, 수학교육현장에서 교사와 학생들에게 작도문제의 해결방법들을 수학화 과정으로 활용 가능하도록 하였다.

주제어 : 고대 그리스기하, 원뿔곡선, Pappus의 일반각의 3등분선 작도문제, Apollonius의 symptoms, Nicomedes의 conchoid, 동적 기하 소프트웨어, 수학화, CLAIC 모형, 교수학습 자료

목차 (Table of Contents)

• 국문초록
• ABSTRACT
• I. 서론 1
• 1. 연구 필요성 1
• 2. 연구 목적 4
• 3. 연구 문제 6
• 4. 용어 정의 6
• 5. 기대 효과 7
• II. 문헌 연구 9
• 1. 수학화 9
• 2. Freudental의 수학 교수-학습 지도원리 14
• 3. 기하영역에서 수학화 수업 이론 17
• 4. Keller의 교수학습 모형과 van Hiele의 기하 학습 수준 이론 20
• 5. 원뿔곡선 26
• 6. 각의 3등분선 작도문제 34
• Ⅲ. 연구 절차 및 방법 38
• 1. 연구 절차 38
• 2. 연구 내용 39
• 3. 연구 방법 40
• 4. 연구의 제한점 43
• Ⅳ. 연구 결과 44
• 1. Pappus가 보인 일반각의 3등분선 작도문제 해법 재조명 44
• 2. 수학화 이론 기반 교수-학습 모형(CLAIC 모형) 개발 90
• 3. CLAIC 모형 적용 교수-학습 자료 개발 100
• 4. 개발한 교수-학습 자료 활동 과정 및 관찰 119
• Ⅴ. 결론 124
• 1. 연구 결과 124
• 2. 제언 132
• 참고문헌 133
• 감사의 글 137