역공학에서의 B-스플라인 곡면을 위한 이산적 순정 및 형상 보존 순정 알고리즘 개발 = Development of discrete fairing and shape preserving fairing algorithms for B-spline surfaces in reverse engineering
저자
발행사항
서울 : 弘益大學校 大學院, 2003
학위논문사항
學位論文(博士)-- 弘益大學校 大學院: 情報産業工學科 CAD/CAM 專攻 2003. 8
발행연도
2003
작성언어
한국어
주제어
KDC
530.9 판사항(4)
DDC
670.285 판사항(20)
발행국(도시)
서울
형태사항
xi, 122, [5]p. : 삽도 ; 27 cm .
일반주기명
부록: 최적화에 사용된 GAMS 코드
참고문헌 수록
소장기관
순정이란, 곡면 형성 과정에서 생긴 의도하지 않은 오류 형상을 제거하는 과정을 말하는데, 이 과정은 주로 역공학에서 이용된다. 제품 설계에서 최근 많이 사용되는 역공학에서는 설계 대상의 형상에 대한 측정점들을 입력받아 곡면을 생성하는데, 이러한 측정점에는 측정 과정에서 발생한 오차값이 포함되기 쉽고 이와 같이 오류가 있는 점들로 만든 곡면은 의도하지 않은 편향성이나 오류 형상을 갖게 된다. 따라서, 이러한 오류를 보정하여 설계자가 의도하는 곡면의 품질을 달성하기 위해 순정이 필요하다.
본 논문에서는 B-스플라인(B-spline) 곡면의 순정을 위한 두 가지 알고리즘을 제안하였다. 하나는 곡면 형성을 위해 주어진 측정점을 사전 보정하기 위한 이산적 순정이며, 다른 하나는 측정점으로 생성한 곡면에 대해 형상 보존 제약을 적용하여 최적화를 한 형상 보존 순정이다. 먼저, 이산적 순정은 측정점에 대한 순정으로, 기존 순정 연구에서는 곡선을 형성하기 위한 측정점에 대한 순정 알고리즘은 존재하나 사각 위상 구조의 곡면 측정점에 대한 일반적인 순정은 제시된 바 없으므로, 곡선 측정점 순정 알고리즘을 곡면에까지 확장하여 적용할 수 있는 새로운 순정 방식을 제안하였다.
이것은 구체적으로, 입력된 측정점들 중 추후 곡면 품질을 저하시킬 만한 점을 택하여 변경하는 과정을 여러 번 반복하는 순정 방법이다. 이를 지역적 순정이라 하는데, 이렇게 순정을 하면 측정점들에 대해 소규모 최적화 문제를 반복하여 풀게 되어 최적화 계산의 부담이 줄어든다. 또한, 측정점 변경이 국부적으로 진행되어 측정점 전체의 특징적 형상을 훼손시키지 않는 형상 보존의 면에서 유리하다. 이렇게 측정점에 대한 국부적인 평가와 보정을 제대로 할 수 있도록 본 논문에서는 측정점에 대한 이산적 순정 평가 척도를 개발하여 사용하였다. 그러나 이산적 순정에는 단점들도 있는데, 첫째는 측정점군 경계 부근의 점들을 보정할 수 없다는 것이고 또 하나는 측정점으로 생성하는 곡면의 전역적인 품질을 높이기 어렵다는 것이다.
그리하여 측정점군을 보간하여 생성한 B-스플라인 곡면에 대한 순정을 위해서, 형상 보존 순정 알고리즘을 함께 제안하였다. 이 방법에서는 주어진 전체 곡면을 곡률 유형에 따라 분할하여 설계하는 역공학에서의 분할 과정을 가정하며, 나뉘어진 각 단위 곡면의 특징적 형상을 보존하면서 동시에 곡면에 대한 전역적 순정을 통해 품질을 향상시키는 방법이다. 이 경우에서는 곡면 경계 부분의 품질 향상이 가능하며, 곡면 형상을 보존하면서 동시에 지역적 순정이 갖는 한계를 극복한 전역적 순정을 할 수 있다. 특히, 순정을 한 후에도 곡면의 전역적 형상이 보존되도록 하기 위해, 곡률에 대한 제약 조건을 유도하여 최적화에 적용했고 곡면 형상에 따른 유형 별로 적합한 순정 평가 척도를 설정하여 사용하였다.
요컨대, 위에서 제시한 두 가지 순정 방법에서는 최종적으로 제약이 있는 비선형 최적화 문제를 푸는 과정을 통해 자동적인 순정을 수행하게 된다. 이러한 자동 순정 방법은 작업자 수작업 없이 순정이 자동 진행되는 장점이 있는데, 이를 위해 곡면 미분으로 구성된 순정 평가 척도를 설정하여 최소화 함으로 곡면을 최적화 하게 된다. 따라서 자동 순정에서 중요한 부분은 설계자 의도에 부합하는 순정 평가 척도를 구하는 것이며, 그리하여 현재까지 다양한 순정 평가 척도들이 연구되고 개발되어 왔다. 그러므로, 위에서 제시한 두 가지 순정 방법에 있어서도 이러한 순정 평가 척도를 적합하게 유도하고 이것을 최소화 함으로써 순정을 달성하였다.
마지막으로, 위와 같이 제안한 이산적 순정 알고리즘과 형상 보존 순정 알고리즘을 확증하기 위해 예제들에 대하여 순정을 수행하고 순정 결과들을 얻어냈는데, 순정 결과들을 명확하게 분석하기 위해서 곡률 분포를 통한 분석도 병행하였다. 곡률 분포를 분석한 결과, 이산적 순정 및 형상 보존 순정에서 모두 긍정적인 효과를 확인했는데 곡면의 품질을 향상시키는 면과 곡면 형상을 보존하는 면에서 모두 만족할 만한 결과를 얻을 수 있었다. 결론적으로, 이산적 순정에 있어서는 곡면 보간 없이 측정점 자체에 대하여 지역적인 순정을 하는 것이 실효성이 있다는 것을 확인할 수 있었고, 형상 보존 순정에서는 곡면의 전역적 순정과 전역적 형상 보존을 동시에 이룰 수 있는 것을 확인할 수 있었다.
In reverse engineering, surfaces are modeled by interpolating data points digitized from existing objects. Designers can design new products quickly and easily with the interpolated surfaces. However, the data points digitized from the existing objects could have measuring errors. If surfaces are constructed with those data points, they could have unwanted shapes or deviations. Thus, fairing of surfaces is required to adjust the shape errors.
In this paper, we propose two algorithms for fairing of B-spline surfaces. One is discrete fairing algorithm and the other is shape preserving fairing algorithm. The discrete fairing algorithm is for fairing of data points of a surface. In this algorithm a data point, which can cause shape errors in a surface to be constructed, is modified iteratively. This method is called local fairing. Using the local fairing, computation load for optimization is reduced. And it has the advantage of surface shape preservation, because it modifies one data point in each optimization process. To evaluate and improve local fairness of data points, we derive and use discrete fairness metrics. However, our discrete fairing algorithm has two limitations.
One is that it cannot improve fairness of the data points which are near the boundary of whole point set and the other is that it cannot perform global fairing on a surface.
Thus, we also propose shape preserving fairing algorithm. It is for fairing of B-spline surfaces which are constructed by interpolating data points. And we assume that a given whole surface is segmented by distribution type of Gaussian and mean curvatures in reverse engineering. On the assumption, we perform global fairing on a unit surface, which is constructed after the segmentation process. Because of the global fairing method, we can fair even the boundary of a given surface. In addition, the global shape of the given surface is preserved after fairing process. For this preservation, we derive and apply constraints on signs of Gaussian and mean curvatures to surface optimization and adopt new fairness metrics.
To implement the proposed automatic fairing algorithms, we model and solve constrained nonlinear optimization problems. This automatic fairing algorithm has an advantage that it makes a fairing be performed automatically without any manual works. To do this, the automatic fairing algorithm optimizes a surface by constructing and minimizing a fairness metric, which is composed of derivatives of the surface. Thus, one of the important things in implementing an automatic fairing algorithm is to derive fairness metrics suitable to designers' intents. In our proposed fairing algorithms, we implement automatic fairings by deriving and minimizing new fairness metrics suitable to our intents of fairing.
Finally, we test our two fairing algorithms and get several fairing results on example surfaces to certify the algorithms. Especially, we analyze the fairing results through Gaussian and mean curvature graphs. As the result of the analysis, we find that our discrete fairing and shape preserving fairing algorithms give positive fairing results in terms of improvement of surface curvature qua1ity and preserving global shapes of original surfaces. The discrete fairing algorithm has effectiveness in faring of data points given for constructing B-spline surfaces. On the other hand, the shape preserving faring algorithm has a capability to preserve global shapes of surfaces in addition to a capability to perform global fairing.
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