완전전도성 균열과 얇은 전자기적 물질의 영상화에 대한 MUSIC과 subspace migration의 수학적 분석
저자
발행사항
서울 : 국민대학교 일반대학원, 2015
학위논문사항
학위논문(박사)-- 국민대학교 일반대학원 : 수학과 수학전공 2015. 2
발행연도
2015
작성언어
영어
DDC
510 판사항(23)
발행국(도시)
서울
기타서명
Mathematical analysis of MUSIC and subspace migration for imaging of perfectly conducting cracks and thin electromagnetic inclusions
형태사항
viii, 143 p. : 삽화 ; 26 cm
일반주기명
지도교수: 박원광
국문 또는 영문 초록 수록
참고문헌: p. 116-132
소장기관
The present study investigated the mathematical structure of non-iterative algorithms such as MUltiple Signal Classification(MUSIC)-type imaging function and subspace migration imaging function, which provide images of cracks included in homogeneous material (or space) or thin materials.
Chapter 1 presents the brief explanation regarding inverse problem or inverse scattering problem and offers the necessity of the current study and provides findings of the study.
Chapters 2, 3, and 4 identify several features of MUSIC-type imaging algorithm by analyzing its mathematical structure. Chapter 2 precisely identifies and analyzes the structure of Single- and Multi-frequency MUSIC-type imaging algorithm from mathematical perspective. Chapter 3 proposes and analyzes Weighted multi-frequency MUSIC algorithm on the basis of what Chapter 2 presented, which leads to the explanation of why this algorithm brings forth more improved result. Chapter 4 presents an analysis on the mathematical structure of MUSIC algorithm in order to find the location of perfectly conducting cracks in the scattering field, which is estimated in the limited view. so that it can be explained why the results of several existing experiments show such phenomena.
Chapters 5, 6 and 7 propose the improved algorithm pertaining to subspace migration imaging algorithm.
Chapter 5 mathematically verifies that the structure of single- and multi-frequency Subspace migration imaging algorithm is related to Bessel function of integer order of the first kind. Chapter 6 mathematically explains why weighted multi-frequency Subspace migration algorithm yields better imaging results based on the findings of Chapter 5. Chapter 7 demonstrates that using natural logarithm function as weighted function of subspace migration algorithm can yield better result in a peculiar way.
Finally Chapter 8 ends with the brief conclusion and explains the relationship between MUSIC-type imaging algorithm and Subspace migration imaging algorithm. Suggestions for future research are also presented.
역문제란 어떤 대상의 물성을 직접 측정하지 못하는 경우 간접자료들을 이용하여 우리가 원하는 대상의 물성을 파악하는 것을 말한다. 역문제가 발생하는 근본원인은 우리가 원하는 정보를 직접 측정하거나 관측하지 못하는 경우가 일어나기 때문인데, 예를 들어 우리는 지구내부의 물성을 직접 측정하지 못하기 때문에 지진파와 같은 간접적인 정보를 통하여 지구내부의 물성을 예측하게 된다. 그러므로 역문제는 지구과학분야만이 아니라 의학, 천문학, 공학, 비파괴검사와 같이 다양한 분야에 적용될 수 있다. 또한 이러한 분야는 인간의 삶과 밀접한 관계를 가지고 있으므로 연구가치가 매우 높다.
균질한 물질(또는 공간)속에 포함된 균열이나 얇은 물질을 영상화하는 역산란 문제는 중요한 역문제 중 하나로 어떤 물질을 향해 발사한 입사파들의 산란파들을 분석하여 물질의 특성을 알아내는 문제이다. 이것은 매우 흥미로운 연구 분야로 최근 많은 연구들이 활발히 이루어지고 있다. 하지만 이러한 역산란 문제는 매우 어렵고 복잡하여 오랜 연구가 이루어졌음에도 뉴턴의 방법과 같은 반복적 방법을 기반으로한 재구성 방법 이외에는 눈에 띄는 알고리즘이 개발되지 않았다. 그러나 일반적으로 뉴턴-type과 같은 반복적인 방법에 기반을 둔 영상화 알고리즘은 초기형태가 찾고자 하는 물질의 형태와 크게 다르면 발산을 하거나 원하는 결과로 수렴하지 않을 수 있고, 원하는 결과로 수렴하더라도 재구성 시간이 매우 오래 걸릴 수 있다. 그러므로 이런 반복적인 방법에는 찾고자 하는 물질과 어느 정도 비슷한 좋은 초깃값을 사용해야 한다. 따라서 짧은 시간에 효과적으로 균열이나 얇은 물질의 대략적인 형태를 발견할 수 있는 비반복적 영상화 알고리즘이 필요하게 되었다.
앞에서 언급한 필요성에 의해 단순근 알고리즘 (Simple pole algorithm), 선형 샘플링 방법 (Linear sampling method), 위상적 미분 (Topological derivative), 다중신호분류 (MUSIC-MUltiple SIgnal Classification) 알고리즘, 키르코프 이송 (Kirchhoff migration)과 부분공간 이송 (Subspace migration)과 같은 비반복적 영상화 알고리즘들이 개발되었다. 이러한 비반복적 알고리즘들의 영상화 결과가 반복적 알고리즘의 좋은 초기값이 되려면 찾고자 하는 물질의 원형과 최대한 가까워야 한다. 따라서 비반복적 알고리즘들의 영상화 함수의 수학적 구조를 밝히고 알고리즘들을 개선하는 것은 중요한 연구주제이다. 하지만 각각의 알고리즘에 대한 기존의 연구는 대부분 실험에 의존한 연구이고, 몇몇 구조에 대한 연구가 이루어 졌지만 수학적인 구조가 명확하게 규명되지 않아 실험에 의한 결과를 이론적으로 설명하기 힘들었다. 본 학위논문에서는 일반적으로 많이 사용되고 있는 MUSIC-type 영상화 알고리즘(MUSIC-type imaging algorithm)과 Subspace migration 영상화 알고리즘(Subspace migration imaging algorithm)의 수학적 구조를 엄밀하게 분석하였으며, 이를 바탕으로 더 개선된 알고리즘을 제시하고 분석하였다.
본 논문의 제2장에서는 단일 주파수 및 다중 주파수 MUSIC-type 영상화 알고리즘(Single- and Multi-frequency MUSIC-type imaging algorithm)의 구조가 제1종 정수차수의 베셀함수(Bessel function of integer order of the first kind)와 관계가 있다는 것을 수학적으로 엄밀하게 증명하였으며, 이를 이용하여 그동안 밝혀지지 않았던 성질(예를 들어 일정한 패턴의 잔상이 생기는 이유, 다중주파수를 사용하는 것이 단일주파수를 사용하는 것보다 좋은 결과를 얻는 이유)들을 규명하였다. 제3장에서는 제2장의 내용을 바탕으로 가중 다중 주파수 MUSIC 알고리즘(Weighted multi-frequency MUSIC algorithm)을 제안하고, 분석하여 이 알고리즘이 기존의 MUSIC 알고리즘보다 더 개선된 결과를 보여준다는 것을 규명하였다. 또한 제4장에서는 제한된 범위(limited-view)에서 측정된 산란장으로부터 작은 완전전도체의 위치를 찾기 위한 MUSIC 알고리즘의 수학적 구조를 분석하여 기존의 여러 실험에 의한 결과들이 왜 그러한 현상을 보이는가에 대해 설명하였다. 이를 위해 제한된 범위에서의 MUSIC 알고리즘 영상화 함수가 제1종 정수차수의 베셀 함수들에 대한 무한급수로 표현됨을 보였다.
제5장에서는 단일 주파수 및 다중 주파수 Subspace migration 영상화 알고리즘(Single- and Multi-frequency Subspace migration imaging algorithm)의 구조가 제1종 정수차수의 베셀함수의 합으로 나타난다는 것을 수학적으로 증명하였으며, 제2장과 마찬가지로 기존에 밝혀지지 않았던 사실들을 설명하였다. 제6장에서는 제5장에서 알아낸 Subspace migration의 수학적 구조를 바탕으로 가중 다중 주파수 Subspace migration 알고리즘(Weighted multi-frequency Subspace migration algorithm)을 제안하고, 왜 이 알고리즘이 기존의 다중 주파수 Subspace migration 알고리즘보다 더 좋은 영상화 결과를 나타내는지 수학적으로 설명하였다. 그리고 제7장에서는 Subspace migration 알고리즘의 가중함수(weighted function)로 자연로그함수를 사용하면 제6장의 알고리즘보다 더 좋은 결과를 얻을 수 있다는 것을 독창적인 방법으로 증명하였다. 이를 위해 베셀함수의 제곱과 자연로그함수의 곱에 대한 부정적분을 유도하여 가중함
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