균질화법을 이용한 구조물의 위상최적화 = (The) structural topology optimization using the homogenization method
저자
발행사항
인천 : 仁荷大學敎 大學院, 2002
학위논문사항
학위논문(석사)-- 仁荷大學敎 大學院: 建築工學科 構造專攻 2002
발행연도
2002
작성언어
한국어
주제어
KDC
531.171 판사항(4)
DDC
621.8 판사항(21)
발행국(도시)
인천
형태사항
viii, 65 p. : 삽도 ; 27 cm.
일반주기명
참고문헌수록
소장기관
구조공학 분야의 최적화는 일반적으로 주어진 조건에 대한 최적의 구조적 형태나 크기를 결정하는 것으로 정의된다. 이는 구조물의 형상을 최적화하기 위하여 유한요소법이 최적화 과정에 도입된 이래 구조물의 형상을 표현하는 기법, 설계변수에 대한 민감도를 계산하는 방법 그리고 최적화 알고리즘 등의 개발로 발전을 거듭하여 왔다.
그런데 구조물의 형상과 크기에 대한 최적화는 그 구조물의 초기 위상이 최적화 후까지도 고정되어 있게 된다. 따라서 주어진 하중과 경계조건에 알맞은 구조물의 위상을 찾기 위한 최적화기법에 대한 연구가 최근에 활발해지고 있다. 초기위상을 개선하기 위해 개발된 위상최적화 기법은 구조물의 형상과 크기를 동시에 변화시키는 방법이며, 궁극적으로는 구조물에 사용된 재료를 재분배함으로써 구조물의 새로운 위상을 찾아내는 방법이다. 위상최적화는 형상과 크기 최적화에서 사용되어온 구조물의 좌표와 단면 같은 설계변수를 사용하지 않고, 구조물을 구성하고 있는 다공성 물질내에 존재하는 빈 공간의 크기를 최적화를 위한 설계변수로 이용하게 된다. 또한 구조물에 사용된 초기의 재료 양을 최적화 전 과정을 통하여 일정하게 유지시킨다. 이러한 개념의 도입으로 기존의 형상과 크기 최적화에서 바꿀 수 없었던 위상을 변화시킬 수 있게 되었다. 위상최적화의 개발은 또한 기존의 구조 최적화의 개념을 구조 설계 최적화의 개념으로 발전시키게 되었다.
이 논문에서는 위상최적화의 기본개념과 위상최적화를 수행하기 위한 알고리즘에 대하여 설명하고, 주어진 설계 영역 내에서 물질을 최적상태로 재분배하여 구조물의 강성을 최대화하는 물질분포를 찾아내는 것을 목적으로 한다.
먼저, 구조물의 위상최적화룰 수행하기 위하여 균질화법의 개념을 도입하고, 위상최적화에 사용된 재료는 인공 재료 법을 이용하여 모델링 하였다. 그리고 빈공간의 크기를 조절하기 위하여 최적화 기준법을 사용하여 설계 변수를 갱신하였으며, 위상최적화를 수행할 때 빈번히 발생하는 체크판 문제를 해결하기 위하여 필터법을 사용하였다.
균질화법은 처음 Bendsφe와 Kikuchi에 의하여 유한요소를 이용하여 미세구조로 이루어진 재료를 정의함으로써 그 주요 이론이 처음 소개되었다. 각 요소의 재료는 고체 영역과 빈공간의 정도가 변하는 무수히 많은 다공질의 미세구조물로 이루어져 있다고 가정한다. 그러므로 미세구조물의 고체영역과 빈공간의 정도를 나타내는 계수가 설계 변수가 된다. 결국 최적화 문제는 주어진 부피 제약조건 내에서 재료의 다공질 정도를 변화 시키면서 강성이 최대가 되는 구조물을 찾는 문제로 정의할 수 있다.
이 논문에서는 인공재료법을 사용하여 위상최적화를 수행하였다. 인공재료법은 다공질의 재료를 균질한 밀도함수로 표현하고, 설계 변수로 재료밀도 계수를 사용한다. 이 방법에서는 탄성계수와 재료의 밀도 사이에 가상의 관계를 가정하기 때문에 물질 상수를 계산하는데 상당한 노력이 필요한 고전적 균질화법에 비하여 연산 시간이 줄어든다는 장점이 있다.
균질화법에서는 목적함수로 구조물의 평균 컴플라이언스의 최소화 문제로 정식화한다. 평균 컴플라이언스를 최소화하는 것은 탄성체에 물체력과 표면력이 작용한 경우 최소한으로 변형하는 구조를 구하는 것이므로 강성의 최대화와 같은 의미라고 할 수 있다. 최적화 문제를 해결하기 위한 최적화조건은 많은 설계변수에 적용할 수 있는 최적화기준법이 효과적이다. 최적화 기준법은 기본적으로 쿤-터커(K-T)조건으로부터 최적화 필요조건을 유도하고 이 필요조건을 만족시키기 위한 재설계과정의 반복법을 의미한다.
최적화 문제를 풀다보면 요소의 타입이나 요소의 개수, 최적화 알고리즘 등에 따라 여러 가지 문제가 발생하게 되는데, 그중 가장 빈번하게 발생하는 문제가 바로 체크판(checkerboard) 문제이다. 이러한 문제를 해결하기 위한 방법으로는 크게 두 가지가 있다 첫 번째 방법은 다절점 유한요소(8절점 유한요소, 또는 9절점 유한요소)를 사용하는 것이고, 두번째는 필터 기법을 사용하는 방법이다. 첫 번째 방법은 연산시간이 지나치게 증가하게 되어 비효율적이기 때문에 이 논문에서는 필터 기법을 사용하였다.
인공 재료법을 사용하는 경우, 조절변수와 이동한계, 확대계수와 같은 계수들이 목적함수에 영향을 미치게 되는데, 이 논문에서는 이러한 계수들의 값을 변화 시키면서 구조물의 위상과 목적함수의 변화에 대하여 조사하였다.
위상최적화의 도입은 고정된 위상을 최적화함으로써 물질의 효율을 극대화 할 수 있어 다양한 구조물의 설계 전단계에 매우 유용한 도구로 사용되어질 수 있을 것으로 사료된다.
Generally, the structural optimization is defined as the decision on the optimum shape and size of the structure for given constraints. Since the finite element method was introduced, it has developed continuously with the method for structural shape generation, the calculating method for design variable sensitivity and the exploitation of optimization algorithm.
Recently, structural topology optimization has been extensively exploited in order to provide alternatives to the fixed topologies which usually exist in the process of traditional shape and sizing optimization. The topology optimization ,developed to improve the initial layout, is the method to change the shape and size of the structure simultaneously, and to find new topology of structure by the distribution for a given amount of material. In the sizing and shape optimization the coordinate or the section of structure are used as the design variables, on the other hand topology optimization problem is defined in such a way that the geometry parameters of the solid/void ratio in the base cells composing the porous material are the design variables. The topology optimization develops the structural optimization into the structural design optimization.
In this paper, the basic concept of topology optimization and the optimization algorithm is explained, and the main purpose of this paper is to find the stiffest structure by varying the distribution of material porosity.
First, the concept of homogenization method is introduced, and the artificial material model is used in the topology toptimization. An optimality criteria based algorithm has to be devised so that the material characterization parameters can be updated in a systematic manner leading eventually to an optimal topology The checkerboard problems often appear in the optimum solutions, therefore filtering method is necessary for the topology optimization.
In the homogenization method originally developed by Bendsφe and Kikuchi the main Idea is to introduce, within each finite element, a uniquely defined material with a special microstructure. The material in each element is assumed to be composed of an infinite number of microscale base cells containing varying degrees of solid and void thus forming a porous medium. Therefore, the geometry parameters of the solid and void ratio in the base cells are the design variables. After all, the optimization problem may be explained as finding the stiffest structure by varying the distribution of material porosity for a given volume fraction.
In this paper, the artificial material method is used in the topology optimization. In the artificial material method, the material is characterized by density parameter. This method can save much efforts to calculate the material constants compared with the classic homogenization method.
The homogenization method is defined to minimize the mean compliance as the objective function. To minimize the mean compliance means to maximize the stiffness of structure. The optimality criteria method, which can be applied by many design varialbes, is very effective to solve the optimization problems.
Solving a topology optimization problem, it is seen that numerical problems occur. what kind of numerical problems depend on element type, number of elements, optimization algorithm and so on. One frequent numerical problem is socalled checkerboard problem. There are two solutions to solve the problems. The first way to privent checkerboard problem is to use higher order elements (8-or 9-node elements), and the second is to use the filter technique, The former is ineffective compared with the latter. So the filter technique is used in this paper.
When the artificial material method is used, the topology optimization parameters such as tuning parameter. move limit and extension factor affect on the objective function and topology of structure. So the effects of the parameters are tested and the results are presented in this paper.
The topology optimization is proved to be very efficient implement, it can maximize the efficiency of material by optimizing a fixed topology of structure.
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