큐잉 과정에서 일처리 시간의 분포 = Distribution of Task Execution Times in a Model Queueing Process

국문 초록 (Abstract)

우리는 인간 행동에 나타나는 축척현상에 대한 모형으로서 큐잉과정 모형을 도입하고 이의 동력학적 성질을 연구하였다. 이 모형에서 대기행렬 (queue)은 개인의 일 목록을 나타낸다. 단위시간 마다
대기행렬에는 새로운 일이 추가되고, 또한 대기행렬에 있는 일은 각각 독립적으로 똑같은 확률로 처리된다. 대기행렬에 있는 일의 수를 n으로 표시할 때 각각의 일이 처리되는 확률은 1/ (1+λn)이고,
λ는 일처리 속도를 조절하는 변수이다. 우리는 λ<1인 경우에 대기행렬에 남아있는 평균 일의 수가 유한하며 λ가 1로 접근할 때 <n>~(1-λ)-1과 같이 발산함을 보였다. 각 일이 대기행렬에 들어와 처리되는데 걸리는 시간의 분포함수는 지수적으로 감소한다. λ≥1인 경우에는 평균일의 갯수가 시간에 따라 <n>~t1/2(λ=1) 혹은 ~t1(λ>1)과 같이 발산함을 보였다. 또한 이 경우에 일처리 시간의 분포함수에는 뚱뚱한 꼬리 (fat tail)가 존재한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

As a model for the scaling behavior observed in human activity, we
introduce a queueing process and investigate its dynamic properties.
In this model, a queue represents a list of tasks for an individual.
During a unit time interval, a new task is added, and each task in
the queue is executed independently with a probability 1/(1+λn), where n is the size of the queue. The parameter λ controls the task execution rate. For λ<1, we find
that the mean queue size remains finite and increases following a
power law, <n>~(1-λ)-1 as λ approaches 1. The distribution function P(τ) for the task
execution time, τ, has an exponential tail. For λ≥1,
the mean queue size increases with time as <n>~t1/2 (λ=1) or t1 (λ>1). We also show that
the task execution time distribution displays a fat-tailed
distribution for λ≥1.

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