복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 오류 분석 : 고등학교 1학년 대상으로 = (The) Error Analysis of the Concept of Complex Numbers and the Basic Features of Calculation Involving Complex Numbers

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study aimed at examining tenth graders' understanding of the concept of basic numbers and the basic features of calculation involving complex numbers, types of misconceptions and errors they make in calculation involving complex numbers and the causes of the errors. In order to achieve such aim, the following three research questions were addressed in the study.
1. To what extent do tenth graders understand the concept of complex numbers?
(1). How well do tenth graders understand the concept of complex numbers?
(2). What types of misconceptions are made by tenth graders with poor understanding of the concept of complex numbers?
2. To what extend do tenth graders understand the basic features of calculation involving complex numbers?
(1). How well do tenth graders understand the features of calculation involving complex numbers?
(2). What types of errors do tenth graders make in the process of solving problems on the basic features of calculation involving complex numbers?
3. What are the causes of misconceptions and errors committed in the process of solving problems on the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers?
For this study, four academic high schools in Daejeon metropolitan city were selected. The subjects of the study included students of eight classes (a total of 305), two from each of the four schools. The test paper used in the study contained a total of 10 questions created through the analysis of the unit ‘complex number’ of high school textbook <10-Ga> published under the 7th national mathematics curriculum. After testing, the collected test papers were analyzed in detail to examine high school students' understanding and application ability of the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers. In addition, interviews with the students were also conducted to identify the causes of the difficulties they experience in such processes.
The findings of the study were as follows.
First, an examination into tenth graders' understanding of the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers found that of a total of 305 students, 25.8% presented correct answers to a question of the concept of complex numbers, 20.45% to a question of the features of complex numbers and 41.15% to a calculation question that requires the application of the concept and features of complex numbers.
Second, the types of misconceptions regarding the concept and features of complex features were classified into the following six types: misconception attributed to inappropriate formalization; misconception attributed to confusions over the use of terminologies and signs; misconception of failing to verify result, misconception attributed to lack of fundamental knowledge, misconception of concentrating only on the result of a theorem and ambiguous misconception. Except for ambiguous misconception, misconceptions attributed to inappropriate formalization took first place with 39.33%.
Third, the types of errors committed in conducting calculation involving complex numbers were classified into the following five types: error attributed to lack of fundamental knowledge, errors attributed to the use of a misunderstood theorem, error of failing to verify result, technical error and ambiguous error. Of these, technical errors took first place with 32.18%.
Fourth, the causes of misconceptions and errors the students made with regard to the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers were as follows. ① The students turned out to have difficulty using , the imaginary unit defined to introduce complex numbers, and newly introduced terminologies and signs. ② It was found that the students failed to understand accurately inclusion relations among numerical concepts. ③ It was found that the students applied real number calculation rules to calculation involving complex numbers with no conflicts, and temporarily memorized only result without considering given conditions when learning certain concept or features. ④ The students did not go through the process of verifying their answers sufficiently. As a result, they produced errors attributed to mistakes in calculation process, and failed to present the correct answer to a question.

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 고등학교 1학년 학생들의 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 이해상태와 연산 과정에서 나타나는 오개념 및 오류의 유형을 알아보고, 그에 대한 원인이 무엇인지 알아보고자 하였다. 따라서 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 3개의 연구문제를 설정하였다.
1. 복소수의 개념을 어느 정도 이해하고 있는가?
(1) 복소수의 개념에 대한 이해 상태는 어떠한가?
(2) 복소수의 개념에 대해 잘 이해하고 있지 못한 학생들이 범하는 오개념의 유형은 무엇인가?
2. 복소수 연산의 기본 성질을 어느 정도 이해하고 있는가?
(1) 복소수 연산의 기본 성질에 대한 이해 상태는 어떠한가?
(2) 복소수 연산의 기본 성질에 대한 문제 해결 과정에서 학생들이 범하는 오류의 유형은 무엇인가?
3. 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 문제 해결 과정에서 나타나는 오개념 및 오류에 대한 원인은 무엇인가?
본 연구를 수행하기 위하여 연구 대상을 대전광역시에 소재하고 있는 인문계 고등학교 4개를 선정하여 고등학교 1학년 각 2학급씩 8개 학급(총305명)을 연구 대상으로 하였으며, 검사지는 우리나라 7차 수학과 교육과정과 고등학교 교과서 <10-가>의 ‘복소수’ 단원을 분석하여 총 10문항으로 제작하였다. 검사 후 검사지를 분석하여 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 고등학교 학생들의 이해 상태와 그에 따른 적용 능력을 보다 구체적으로 분석하고 그 과정에서 학생들이 겪는 어려움과 원인을 알아보기 위하여 면담을 실시하였다.
그 결과는 다음과 같다.
첫째, 고등학교 1학년 학생들의 복소수의 개념과 복소수의 연산의 기본 성질에 관하여 검사한 결과 전체 305명 중 복소수의 개념에 관한 영역에서 25.8%, 복소수의 성질에 관한 영역에 20.45%, 복소수의 개념과 성질을 적용하는 계산 영역에서 41.15%의 정답률을 나타냈다.
둘째, 복소수의 개념과 성질에 대한 오개념의 유형에는 개념의 부적절한 형식화에 따른 오개념, 용어 및 기호 사용의 혼동에 의한 오개념, 결과의 타당성을 검증하지 않은 오개념, 기본적인 지식 결여에서 오는 오개념, 정리의 결과에만 집중하는 오개념, 애매한 오개념으로 6가지 유형으로 분류하였다. 애매한 오개념을 제외하고 개념의 부적절한 형식화에 따른 오개념이 39.33%로 가장 높게 나타났다.
셋째, 복소수의 계산 문제에 대한 오류의 유형에는 기본적인 지식 결여에서 오는 오류, 잘못 이해된 정리의 사용에서 오는 오류, 결과의 타당성을 검증하지 않은 오류, 기술적인 오류, 애매한 오류로 5가지 유형으로 분류하였다. 이 중에서 기술적인 오류가 32.18%로 가장 높게 나타났다.
넷째, 학생들이 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 오개념 및 오류에 대한 원인은 다음과 같다. ① 복소수를 도입하기 위해 정의한 허수단위 의 어려움과 새롭게 등장한 용어와 기호 사용에 있어서의 어려움을 갖고 있는 것으로 나타났다. ② 수 개념 사이의 포함관계를 정확하게 이해하지 못하는 것으로 나타났다. ③ 실수에서의 연산의 규칙을 복소수에서도 아무런 갈등 없이 그대로 받아들이며 사용할 뿐만 아니라 어떤 개념이나 성질을 학습할 때 조건을 무시한 채 결과만을 단편적으로 기억하는 것으로 나타났다. ④ 자신이 제시한 답의 타당성을 확인하는 과정이 많이 부족하였으며, 이로 인해 계산과정에서 실수로 인한 오류를 보였으며 문제가 요구하는 정확한 답을 표현하지 못하는 것으로 나타났다.

목차 (Table of Contents)

• 논문요약 = ⅵ
• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• B. 연구 문제 = 5
• C. 용어 정의 = 5
• D. 연구의 제한점 = 8
• E. 기대되는 효과 = 8
• Ⅱ. 문헌검토 = 9
• A. 수 개념의 역사 = 9
• B. 복소수의 발견과 역사 = 10
• C. 수학적 오개념과 오류 = 14
• 1. 수학적 오개념과 오류에 관한 고찰 = 14
• 2. 수학적 오류의 유형에 관한 고찰 = 24
• D. 선행 연구 고찰 = 29
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 32
• A. 연구 대상 = 32
• B. 검사 도구 = 32
• C. 검사 방법 및 절차 = 33
• D. 자료 분석 = 34
• Ⅳ. 결과 분석 및 논의 = 35
• A. 연구문제 1-(1), 2-(1) 에 대한 결과 분석 = 35
• 1. 복소수 개념의 정의에 대한 이해 : 문제1, 문제3, 문제10 = 35
• 2. 복소수의 성질에 대한 이해 : 문제 2, 문제 4 = 45
• 3. 복소수의 계산 문제 : 문제 5, 문제 6, 문제 7, 문제 8, 문제 9 = 54
• B. 연구문제 1-(2), 2-(2), 3에 대한 결과 분석 = 68
• 1. 오개념 및 오류 유형 설정 = 68
• 2. 결과 = 81
• C. 논의 = 89
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 92
• A. 결론 = 92
• B. 제언 = 96
• 참고문헌 = 97
• Abstract = 101
• 부록 = 105