Some Asymptotic Problems on the Theory of Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations.
저자
발행사항
Ann Arbor : ProQuest Dissertations & Theses, 2022
학위수여대학
The University of Wisconsin - Madison Mathematics
수여연도
2022
작성언어
영어
주제어
학위
Ph.D.
페이지수
186 p.
지도교수/심사위원
Advisor: Tran, Hung.
Viscosity solutions arise naturally in many fields of study from engineering, physics, and operations research to economics. The study of viscosity solutions on its own has uncovered many new and interesting research problems, including the study of the asymptotic behavior of solutions with respect to the changing of parameters. In this dissertation, I present some new problems following the line of the asymptotic behavior of solutions. Each of the problems is related to the other through the old underlying theme of optimal control theory, yet presents many new problems on their own that are yet to be studied. The first direction is on homogenization of Hamilton-Jacobi equations. Using deep analysis of the dynamics of minimizers corresponding to the solution, I established in Tu (2021) the optimal rate of convergence under the multi-scale setting in one dimension, which could not be obtained by the previous pure PDEs technique. The second direction concerns various asymptotic problems for equations with state-constraint. In Kim et al. (2020), my co-authors and I established some first quantitative results on the rate of convergence of the solution to the Hamilton-Jacobi equations with state-constraint on a nested domain setting. Utilizing the weak KAM theory, in Tu (2022), I established qualitatively various convergence results for the vanishing discount procedure with changing domains together with a new description of the regularity of the additive eigenvalues with respect to domain perturbation. Lastly, in Han (2022), my co-author and I established the rate of convergence for the vanishing viscosity procedure, concerning the viscous state-constraint viscosity (large) solution that blows on the boundary of the underlying domain. This is the first-rate established for blow-up solutions in the literature as far as we know.
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