이차곡선의 특성

국문 초록 (Abstract)

이차곡선은 아름다운 곡선들 중의 하나이다. 중등교육과정 수학교과서에 무수히 많이 제시된 이차곡선의 성질들은 이러한 주장을 뒷받침한다. 이렇게 제시된 이차곡선의 성질을 공부하다 보면 그 성질을 이차곡선만이 가지는가? 라는 질문이 제기되는 것은 자연스러운 일이다.

이에 본 논문에서는 이차곡선 중에서도 타원과 쌍곡선의 접선과 관련하여 이차곡선의 성질을 조사, 증명하고, 그것을 토대로 그 역이 성립하는지 살펴보았다. 또한 그 성질이 타원과 쌍곡선의 특성이 되는지 조사하고 타원과 쌍곡선의 특성이 되는 경우는 증명하였다.

1절에서는 이차곡선의 역사와 일상생활에서 쓰이는 예를 알아보고, 2절에서는 이차곡선의 정의, 표준형, 접선의 방정식을 기술하였다. 3절에서는 타원과 쌍곡선의 동치 조건들을 먼저 조사한다. 4절에서는 발판곡선에 대하여 알아보고 발판곡선이 원인 곡선들은 타원과 쌍곡선뿐임을 보이고 더 일반적으로 두 점에 대하여 발판곡선이 같은 곡선이면 그 발판곡선은 원이고 원래곡선은 타원이나 쌍곡선임을 보인다. 5절에서는 초점이 같은 타원이나 쌍곡선이 공유하는 성질을 조사하고 그 성질이 타원이나 쌍곡선의 특성이 됨을 증명하였다.

목차 (Table of Contents)

• 1. 들어가는 말 1
• 2. 이차곡선의 정의와 접선의 방정식 3
• 3. 타원과 쌍곡선의 동치 조건 6
• 4. 발판곡선과 이차곡선의 특성 13
• 5. 초점이 같은 이차곡선의 특성 22
• 참고문헌 32
• 영문 요약 33
• 감사의 글 34