ON A STRONGLY BOUNDED VECTOR MEASURES = 强有界벡터 測度에 관한 小考
저자
Shin, Joon Kook (Department of Mathematics, College of Sciences Chungnam National University)
발행기관
학술지명
권호사항
발행연도
1982
작성언어
English
KDC
400
자료형태
학술저널
수록면
23-26(4쪽)
제공처
소장기관
σ대수에서 정의된 모든 countably additive 측도에 대하여 양의 유한 측도를 이용하여 벡터 측도에 관한 분해와 확장 정리가 쉽게 유도됨을 보였다.
특히 강 유계 측도가 countably additive가 되는 조건을 알아보았다.
The theorems on spaces of set functions have been developed a more satisfactory theory of vector valued countably additive set functions (briefly, vector measure0. For example, we had the Lebesgue-type theory of integration of a scalar valued function with respect to a vector valued measure given in Bartle, Dunford and Schwartz [2]. A similar procedure has been employed by Bartle [1] to obtain a Lebesgue-type integration theory where both function and measure are vector valued.
In this paper we shall suppose that Ω is a fixed set, that Σ is a σ-field of subsets of Ω. Lst X be a Banach space and X^* denote the dual space of X. Let ν be the total variation of a vector measure μ. Let ca (Ω,Σ,X) be the set of all bounded countably additive set function with domain Σ and range in X.
Lemma 1. The following statement are equivalent.
(ⅰ) A set K⊂ ca (Ω,Σ,X) is weakly sequentially compact.
(ⅱ) It is bounded and the countable additivity of μ on Σ is uniform with respect to μ in K.
(ⅲ) It is bounded and, for some positive λ in ca (Ω,Σ,X), lim_λ(E)→0 μ(E) = 0 is uniform with respect to μ in K.
The proof can be found in [5, Ⅳ 9].
Theorem 2. A vector measure is bounded, and the set {x^*μ|x^*εX^*, |x^*|≤1} is weakly sequentially compact as a subset of ca (Ω,Σ,X).
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